1. Преобразование нелинейной системы

Структурная схема нелинейной системы управления представлена на рисунке 7. Для построения фазового портрета структурную схему преобразуем так, чтобы нелинейный элемент и линейная часть были соединены последовательно.

W₄(p)

W₅(p)

W₆(p)

W₈

W₁(p)

НЭ

- -

W₇(p)

W₂

Рис. 7 Структурная схема нелинейной системы управления

Разомкнем систему перед нелинейным элементом, перенося на новый вход системы регулирующее воздействие. Получим следующую структурную схему (рисунок 8):

НЭ

W₅(p)

W₆(p)

W₈

W₁(p)

W₂

W₄(p)

-

-W₇(p)

Рис. 8 Эквивалентная структурная схема нелинейной системы

Преобразуем структурную схему. Получим схему, представленную на рисунке 9.

u-x x_i x

Рис. 9 Преобразованная структурная схема нелинейной системы

Передаточная функция линейной части:

W(p) = W₅(p)W₆(p)(W₈(p)W₁(p)W₂(p) – W₇(p))W₄(p);

W(p) = ·3·(2· ·1 – 2)·0,2 = .

Избавимся от многочлена в числителе. Для этого разделим числитель и знаменатель на (-3р+1):

W(p) = .

Преобразуем:

W(p) = .

2. Построение фазового портрета

По определению передаточной функции:

W(p) = , следовательно X = W(p)·X_i;

p(0.083p + 1)X = -5·X_i;

p(0.083p + 1)X = -5·F(u – X).

Будем считать, что на вход системы подано постоянное воздействие u = const, тогда перейдем от самих величин к их отклонениям относительно постоянного входного воздействия. Введем обозначения:

x = X – u, px = = y;

p²x = = .

C учетом этого получим следующую систему уравнений:

(1)

=>

(2)

Разделив уравнение (1) на (2) и исключив таким образом время, получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий:

0,083· = 5 - 1.

Решение данного уравнения будет строится исходя из заданной нелинейности. В данном случае нелинейной частью системы является трехпозиционное реле.

Статическая характеристика реле:

5 y

-2

2 x

-5

Рис. 10 Статическая характеристика реле

5, при х>2

F(x) = 0, при -2 ≤ x ≤ 2; (3)

-5, при x<-2

В соответствии с системой (3) запишем уравнение, с учетом того, что функция является нечетной, т. е. симметрична относительно начала координат:

F(x) =

Пусть в начальный момент времени система выведена в точку М₀ с координатами (x₀; y₀). Проинтегрируем вышеприведенное выражение от x₀ до x и от y₀ до y.

Найдем решение каждого уравнения:

1) ,

получим

x = x₀ – 0.083[y – y₀ - 5·5·ln + 5·5·ln ].

2) 0,083·dy = - dx,

0.083(y – y₀) = - (x – x₀),

x = x₀ – 0.083[y – y₀] – отрезок прямой на интервале -2 ≤ x ≤ 2.

3) 0.083 = dx.

x = x₀ – 0.083[y – y₀ + 5·5·ln - 5·5·ln ].

Задаваясь различными значениями «y» построим фазовый портрет системы. При этом выведем систему в произвольную точку (-2,7; 0).

Первая кривая при х < - 2:

Вторая кривая

при 2-<х<2:

Третья кривая при х>2:

Четвертая кривая при 2-<х<2:

Пятая кривая при х < - 2:

Шестая кривая 2-<х<2:

Построим фазовый портрет.

График № 7 Фазовый портрет нелинейной системы управления

По полученному фазовому портрету проводим анализ системы. Последнее уравнение при y = 0 обращается в x = 0, т. е. последняя составляющая графика пересекает ось y на отрезке-2 < x < 2. Закрутка происходит в начало координат. Следовательно система является устойчивой. Качество управления, о котором можно судить по виду фазового портрета является удовлетворительным и не требует дополнительной коррекции.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проделанной курсовой работы было проведено исследование системы регулирования уровня жидкости в емкости. Сперва система исследовалась как линейная и было определено, что линейная система устойчива с большим запасом устойчивости по амплитуде. Запас устойчивости по фазе бесконечен. По проведенным прямым и косвенным оценкам качества регулирования можно сделать вывод, что качество управления линейной системы достаточно высокое. При исследование системы с нелинейным звеном по фазовому портрету было определено, что нелинейная система также является устойчивой и работоспособной.

Список литературы

1. Теория автоматического управления/ Под ред. А. В. Нетушила. – М.:Высшая школа, 1977. – 519 с: ил.

2. Основы автоматического регулирования/ Под ред. В. С. Пугачева. – М.:Наука, 1974. – 720 с.: ил.

3. Основы теории автоматического регулирования. Учебник для машиностроительных вузов/ В. И. Крутов, Ф. М. Данилов, П. К. Кузьмин и др.:Под ред. В. И. Крутова. –2-е изд., перераб. и доп. – М.:Машиностроение, 1984, - 368 с,: ил.

4. Самоучитель MathCad 11 Кирьянов Д. В. – СПб.: БХВм – Петербург, 2003. – 560 с.

24