Скачиваний:
79
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
468.78 Кб
Скачать

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ.

В примере отсутствуют (за некоторыми исключениями) обсуждения полученных результатов.

Задан сигнал

x(t) = αte−αt , t 0, α =103

Погрешность аппроксимации задать 0.05. Используя Mathcad, построим эту функцию.

Длительность этого сигнала, определенная на уровне 0,01 от максимального значения определяется формулой τ1=7,6/α, т.е. τ1=0,0076с.

1.Определить спектральную плотность X(ω) заданного непериодического сигнала x(t). Рассчитать и построить график модуля спектральной плотности.

 

 

−αt

 

jωt

 

− αe(α+jω)t

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X(ω) =

αte

 

e

 

dt =

 

[(α + jω)t 1]

=

 

 

 

α2 + 2jωα − ω2

(α + jω)2

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль спектральной плотности

 

 

α

 

 

 

X(ω)

=

α2 + ω2

= X(ω)

 

 

 

Модуль спектральной плотности сигнала, рассчитанный с помощью системы Mathcad показан на приведенном ниже рисунке.

 

0.001

 

 

 

.

 

4

 

 

 

X(ω ) 5 10

 

 

 

 

 

 

0

 

.

4

 

 

0

5000

 

 

1 10

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

21

 

 

2. Определить верхнюю частоту ωmax в спектре сигнала, задав погрешность аппроксимации 0,05. Для этого, выбрав ωmax, вычислить обратное преобразова-

ние Фурье в пределах (-ωmax, ωmax), где ωmax=2πfmax. Таким образом, будет произведена аппроксимация сигнала x(t) сигналом с ограниченным спектром xv(t).

Сравнить этот восстановленный сигнал xv(t) c исходным сигналом x(t), для чего вычислить среднеквадратическую погрешность аппроксимации . Если будет больше 5%, увеличить ωmax и повторить вычисления. Эту процедуру повторять до тех пор, пока не уменьшится до 4 – 5%.

Для найденного значения ωmax, вычислить интервал дискретизации T в соответствии с теоремой Котельникова, а затем определить число отсчетов, соответствующее этому T. Если N окажется дробным, округлить его до целого, обозначив его через N1. После этого уточнить интервал дискретизации, обозначив его через T, а затем найти значение ωmax, соответствующее T1.

Исходя из графика спектральной плотности, задаем верхнюю частоту в спектре ωmax=4.5·103 и вычислим обратное преобразование Фурье:

 

1 ωmax

jωt

 

xv(t) =

 

−ωmaxX(ω)e

 

dω

2π

 

Этой функции xv(t) соответствует график

 

0.4

 

 

xv( t)

0.2

 

 

 

0 0

0.005

0.01

 

 

t

 

Среднеквадратическая погрешность (30) составляет 4,6%, т.е. удовлетворяет условиям задачи. По теореме Котельникова интервал дискретизации T≤π/ωmax. В данном случае, полагая T=π/ωmax, получим T = 6.981·10-4с.

Число отсчетов сигнала N, соответствующее этому T равно 11.886. Его надо округлить до целого, причем в сторону увеличения. Выберем N1=15. Этому числу отсчетов соответствует интервал дискретизации T1=5.067·10-4.

Дискретизированный сигнал x(kT) записывается так:

x(kT) kT1e−αkT

График дискретизированного сигнала.

0.4

xk 0.2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

5

10

15

22 k

3. Записать выражение ДПФ полученного дискретизированного сигнала и вычислить его. Построить график модуля ДПФ. Сделать выводы о характере спектра дискретизированного сигнала.

n := 0.. 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N1−1

j 2π n

 

k

 

 

 

 

 

 

Xn := T1 xk e

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xn

 

5 .10 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

5

10

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Сравнить модуль ДПФ для n=5

 

с модулем спектральной плотности

 

 

 

 

 

 

 

 

X(ω)

 

на часте, соответствующей этому значению n. Сделать выводы о соответствии

 

 

 

 

 

ДПФ и спектральной плотности X(ω).

 

Интервал Ω между спектральными составляющими ДПФ определяется

формулой

2π

 

 

2π

 

Ω =

=

 

=826,316 рад/ с ,

 

 

0,0076 с

 

τ

 

 

 

1

 

 

 

 

поэтому 5Ω=4134.58 рад/с.

Модуль ДПФ для n=5 равняется 7.975 10-5,, а модуль спектральной плотности на этой часте равен 5,528 10-5.

Частота ω (рад/с)

4131,58

Модуль ДПФ

7.975 10-5

Модуль спектральной плотности

5,528 10-5

5. По заданному на z-плоскости расположению нулей и полюсов системной функции цифрового фильтра записать выражение системной функцииH(z) и

нарисовать структурную схему фильтра.

Если X(z) – z-преобразование входного сигнала, а Y(z) – z-преобразование выходного сигнала, то системная функция фильтра

 

 

 

Y(z)

 

H(z) =

 

.

 

 

X(z)

 

Заданы нули и полюсы функции H(z) на z-плоскости:

нули z01=0, z02,3=±0,5j;

полюсы z*1=0,8, z*2,3=0,6exp(±jπ/3).

Используя их, запишем:

23

 

 

z(z 0,5j)(z + 0,5j)

 

 

 

 

H(z) =

 

 

 

 

 

 

.

 

(z 0,8)[z 0,6 exp( j

π)][z 0,6 exp(j

π)]

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

После преобразований это выражение принимает вид:

 

 

 

 

 

z(z2 + 0,25)

 

z(z2 + 0,25)

 

H(z) =

 

 

 

=

 

=

z3 1,4z2 + 0,84z 0,288

(z 0,8)(z2 0,5z + 0,36)

 

 

1 + 0,25z2

 

 

 

 

 

 

1 1,4z1 + 0,84z2 0,288z3

 

 

 

 

 

 

По этой формуле строим структурную схему цифрового фильтра (рис.12).

x(kT)Σ y(kT)

 

 

z-1

1,4

 

 

z-1

 

 

 

 

 

 

 

 

z-1

-0,84

 

 

z-1

 

 

 

 

 

 

0,25

 

 

 

 

 

 

 

 

z-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,288

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.12

6.Вывести формулу импульсной характеристики фильтра g(kT), рассчитать

ееи построить g(kT).

Для вывода выражения

g(kT)

надо

найти обратное

 

z-преобразование

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

системной функции H(z) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(kT) =

1

 

 

 

k1

dz

 

 

 

 

 

H(z)z

 

 

 

 

 

 

2πj C

 

 

 

 

 

k 1

 

 

Этот интеграл равен сумме вычетов

 

 

 

 

в

полюсах внутри

 

функцииH(z)z

 

контура C. Если в точке z*

 

 

 

 

 

k 1

имеет полюс порядка s, , то ее

функция H(z)z

 

можно представить так

H(z)zk 1 = ψ(z) /(z z* )s .

Вычет в точке z* дается формулой

24

Re s[H(z)z n1 =

1 ds1

ψ(z)

 

 

.

 

 

 

(s 1)! dzs1

 

 

 

z=z*

 

 

 

 

 

 

Если в точке z* имется только полюс первого порядка, то

Re s[H(z)z k1 = ψ(z* ) .

В рассматриваемом примере

H(z) =

 

 

z(z

2 + 0,25)

=

 

z(z2 + 0,25)

 

 

=

z

3

1,4z

2

+ 0,84z 0,288

 

 

π

π

 

 

 

 

 

(z 0,8)[z

0,6 exp(j

 

][z 0,6 exp(j 3)]

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

=z(z2 + 0,25)

(z 0,8)(z2 0,6z + 0,36)

Эта функция имеет три простых полюса:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z*1 = 0,8; z*2 = 0,6 exp( j π); z*3

 

= 0,6 exp(j π) .

 

 

 

Найдем вычеты.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычет в полюсе z*1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как Res11(z*1), а

z k1

z(z 2 +0,25)

 

 

 

z k (z 2 +0,25)

 

 

 

 

 

 

ψ1(z) =

=

 

,

 

 

 

то

 

z 2 0,6z +0,36

z

2 0,6z +0,36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0,8)k [(0,8)2 + 0,25]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Res =

 

=1,71 (0,8)k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(0,8)

2 0,6 0,8 + 0,36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычет в полюсе z*2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае

 

 

 

 

zk (z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ2 (z) =

 

+ 0,25)

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z 0,8)[z 0,6 exp(j π)]

 

 

 

 

 

 

π

 

 

π

 

 

 

 

 

3

 

π

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0,6e j3 )k [(0,6e j

3 )2 +0,25]

 

 

 

(0,6)k e jk

3 (0,36e j

 

 

 

Re s2 =

 

=

3 +0,25)

.

j

π

 

 

jπ

jπ

 

 

 

 

(0,6e

jπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0,6e

3 0,8)(0,6e

 

3 0,6e

3 )

 

 

 

 

 

3 0,8) j 1,04

 

Вычет в полюсе z*3.

 

 

 

zk

(z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ3 (z) =

 

+ 0,25)

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(z 0,8)[z

0,6 exp(j π)]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

π

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

(0,6e j3 )n [(0,6ej3 )2 +0,25]

 

 

 

(0,6)k ej3

 

j

 

 

 

 

 

Re s3 =

= −

(0,36e

3

+0,25)

.

 

j

π

 

 

j

π

j

π

jπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0,6e

3 0,8)(0,6e

3

0,6e

3 )

 

 

 

(0,6e

3 0,8) 1,04

 

 

 

 

В этом примере удобно сложить Res2 и Res3. После соответствующих

 

 

 

преобразований эта сумма будет равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0,6)k

[0,432sin[(k +1)

π

] 0,576sin[(k

+ 2)

π

] + 0,3sin[(k

1)

π

0,4sin(k

π

)]

1,04

3

3

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Импульсная характеристика, равная сумме трех вычетов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(k) =1,71 (0,8)k +

(0,6)k

 

[0,432 sin[(k +1) π] 0,576 sin[(k + 2)

π] +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,04

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

+ 0,3sin[(k 1) π3 0,4 sin(k π3)].

Используя Matchad построим ее.

k := 0..20

 

 

 

 

k

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

.576 sin (k + 2) π + .3 sin

 

 

π

 

π

g k := 1.71 (.8)

 

+ (.6)

 

 

.432

sin

(k + 1)

 

3

(k 1)

 

3

.4 sin

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gk

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Вывести формулу частотной характеристики фильтра, рассчитать и построить его амплитудно-частотную характеристику.

Частотная характеристика фильтра может быть получена из выражения системной функции подстановкой z=exp(jωT).

Следовательно:

 

 

 

 

K(e jωT ) =

(e jωT )3

+

0,25e jωT

 

 

 

.

(e jωT )3 1,4(e jωT )2

 

 

+ 0,84e jωT 0,288

Заменяя ejωT=cos(ωT)+jsin(ωT), получим:

K( jω) =

(cos3ωT + 0,25cosωT) + j(sin3ωT + 0,25sin ωT)

(cos3ωT 1,4cos2ωT + 0,84cosωT 0,288) + j(sin3ωT 1,4sin 2ωT + 0,84sin ωT)

26

Амплитудно-частотная характеристика фильтра

:

 

 

 

 

 

 

8. Записать разностное уравнение цифрового фильтра и вычислить выходной

K(ω) =

 

1.0625 +.5cos(2ωT)

3.75 5.636cos(ωT) + 2.4864cos(2ωT) .576cos(3ωT)

 

ω := 0,102..5 104

 

T := .0002

 

 

K(ω) :=

 

1.0625+ .5

cos (2 ω T)

 

T) + 2.4864

cos (2 ω T) .576 cos (3 ω T)

 

3.75 5.635 cos (ω

 

 

10

 

 

 

 

 

K(ω )

5

 

 

 

 

 

 

0

.

4

 

. 4

 

 

0

 

 

 

2 10

ω

4 10

 

 

 

 

 

 

сигнал.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+0,25z2

Так как

H(z) =11,4z

1 +0,84z2 0,288z3

 

 

 

 

 

 

то ему соответствует следующее разностное уравнение:

y(kT) = x(kT) + 0,25x[(k 2)T +1,4y[(k 1)T] 0,84y[(k 2)T] + +0,288y[(k 3)T]

 

Решение разностного уравнения

 

 

k := 0..14

 

α := 103

T1 := 5.067 104

xk := α k T1 e−α k T1

 

 

 

y0

:= x0

y1 := x1

y2 := x2 + .25 x0 + 1.4 y1

y3

:= x3 + .25 x1 + 1.4 y2 .84 y1

k := 4..14

 

 

 

 

 

y k := xk + .25 xk2 + 1.4

y k1 .84 y k2 + .288 y k3

 

 

 

k := 0..14

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yk 1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

5

2710

 

 

 

 

 

 

 

 

k

9. Записать выражение ДПФ сигнала на выходе фильтра и вычислить его. Построить график ДПФ выходного сигнала.

n := 0.. 14

14

 

 

 

 

− j n k 2

π

 

 

 

 

 

 

15

 

 

S1n := T1 y k e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S1n

 

0.005

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

5

10

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

28

Литература.

1.Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. М.: Радио и связь, 1986.512 с.

2.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник. М.: Выс-

шая школа, 2000. 462 с.

3.Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильт ров: Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1982. 109 с.

29

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.