Добавил:

student_tipo Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балаковский институт техники, технологии и управления

Предмет:

Теория автоматического управления

Файл:

методические указания по курсовой работе / TAY казань

.pdf

Скачиваний:

323

Добавлен:

22.02.2014

Размер:

468.78 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ.

В примере отсутствуют (за некоторыми исключениями) обсуждения полученных результатов.

Задан сигнал

x(t) = αte−αt , t ≥ 0, α =103

Погрешность аппроксимации задать 0.05. Используя Mathcad, построим эту функцию.

Длительность этого сигнала, определенная на уровне 0,01 от максимального значения определяется формулой τ1=7,6/α, т.е. τ1=0,0076с.

1.Определить спектральную плотность X(ω) заданного непериодического сигнала x(t). Рассчитать и построить график модуля спектральной плотности.

	∞		−αt		−jωt		− αe−(α+jω)t		∞	α


X(ω) = ∫		αte		e		dt =		[(α + jω)t −1]	=
							α2 + 2jωα − ω2			(α + jω)2
	0								0

Модуль спектральной плотности

		α
		α
X(ω)	=	α2 + ω2	= X(ω)
		α2 + ω2

Модуль спектральной плотности сигнала, рассчитанный с помощью системы Mathcad показан на приведенном ниже рисунке.

	0.001
.		4
X(ω ) 5 10
		0		.	4
		0	5000	.	4
		0	5000	1 10
			ω
			21

2. Определить верхнюю частоту ωmax в спектре сигнала, задав погрешность аппроксимации 0,05. Для этого, выбрав ωmax, вычислить обратное преобразова-

ние Фурье в пределах (-ωmax, ωmax), где ωmax=2πfmax. Таким образом, будет произведена аппроксимация сигнала x(t) сигналом с ограниченным спектром xv(t).

Сравнить этот восстановленный сигнал xv(t) c исходным сигналом x(t), для чего вычислить среднеквадратическую погрешность аппроксимации . Если будет больше 5%, увеличить ωmax и повторить вычисления. Эту процедуру повторять до тех пор, пока не уменьшится до 4 – 5%.

Для найденного значения ωmax, вычислить интервал дискретизации T в соответствии с теоремой Котельникова, а затем определить число отсчетов, соответствующее этому T. Если N окажется дробным, округлить его до целого, обозначив его через N1. После этого уточнить интервал дискретизации, обозначив его через T, а затем найти значение ωmax, соответствующее T1.

Исходя из графика спектральной плотности, задаем верхнюю частоту в спектре ωmax=4.5·103 и вычислим обратное преобразование Фурье:

	1 ωmax		jωt
xv(t) =		−ω∫maxX(ω)e		dω
	2π

Этой функции xv(t) соответствует график

	0.4
xv( t)	0.2
	0 0	0.005	0.01
		t

Среднеквадратическая погрешность (30) составляет 4,6%, т.е. удовлетворяет условиям задачи. По теореме Котельникова интервал дискретизации T≤π/ωmax. В данном случае, полагая T=π/ωmax, получим T = 6.981·10-4с.

Число отсчетов сигнала N, соответствующее этому T равно 11.886. Его надо округлить до целого, причем в сторону увеличения. Выберем N1=15. Этому числу отсчетов соответствует интервал дискретизации T1=5.067·10-4.

Дискретизированный сигнал x(kT) записывается так:

x(kT) =αkT1e−αkT

График дискретизированного сигнала.

0.4

xk 0.2

0




	0	5	10	15

22 k

3. Записать выражение ДПФ полученного дискретизированного сигнала и вычислить его. Построить график модуля ДПФ. Сделать выводы о характере спектра дискретизированного сигнала.

n := 0.. 14

						N1−1		j 2π n		k
		Xn := T1 ∑ xk e						j 2π n	15
		Xn := T1 ∑ xk e
						k	=0
0.001
0.001
	Xn	5 .10 4





0



			0	5			10	15
							n
4. Сравнить модуль ДПФ для n=5					с модулем спектральной плотности

											X(ω)

на часте, соответствующей этому значению n. Сделать выводы о соответствии


ДПФ и спектральной плотности X(ω).
Интервал Ω между спектральными составляющими ДПФ определяется
формулой	2π		2π
Ω =		=		=826,316 рад/ с ,
			0,0076 с
	τ
	1

поэтому 5Ω=4134.58 рад/с.

Модуль ДПФ для n=5 равняется 7.975 10-5,, а модуль спектральной плотности на этой часте равен 5,528 10-5.

Частота ω (рад/с)	4131,58
Модуль ДПФ	7.975 10-5
Модуль спектральной плотности	5,528 10-5

5. По заданному на z-плоскости расположению нулей и полюсов системной функции цифрового фильтра записать выражение системной функцииH(z) и

нарисовать структурную схему фильтра.

Если X(z) – z-преобразование входного сигнала, а Y(z) – z-преобразование выходного сигнала, то системная функция фильтра


	Y(z)
H(z) =		.
H(z) =		.
	X(z)

Заданы нули и полюсы функции H(z) на z-плоскости:

нули z01=0, z02,3=±0,5j;

полюсы z*1=0,8, z*2,3=0,6exp(±jπ/3).

Используя их, запишем:

			z(z − 0,5j)(z + 0,5j)
	H(z) =						.
			(z − 0,8)[z − 0,6 exp( j	π)][z − 0,6 exp(−j		π)]
				3		3
После преобразований это выражение принимает вид:
			z(z2 + 0,25)		z(z2 + 0,25)
H(z) =				=				=
		z3 −1,4z2 + 0,84z − 0,288			(z − 0,8)(z2 − 0,5z + 0,36)
		1 + 0,25z−2
	1 −1,4z−1 + 0,84z−2 − 0,288z−3

По этой формуле строим структурную схему цифрового фильтра (рис.12).

x(kT)Σ y(kT)

z-1	1,4	z-1
	1,4
z-1	-0,84	z-1
z-1		z-1
0,25
0,25		z-1


	0,288
	0,288

Рис.12

6.Вывести формулу импульсной характеристики фильтра g(kT), рассчитать

ееи построить g(kT).

Для вывода выражения	g(kT)	надо			найти обратное						z-преобразование

системной функции H(z) :
	g(kT) =	1	∫				k−1	dz
	g(kT) =		∫	H(z)z				dz
		2πj C							k −1
Этот интеграл равен сумме вычетов									k −1	в	полюсах внутри
Этот интеграл равен сумме вычетов					функцииH(z)z					в	полюсах внутри
контура C. Если в точке z*						k −1	имеет полюс порядка s, , то ее
контура C. Если в точке z*	функция H(z)z						имеет полюс порядка s, , то ее

можно представить так

H(z)zk −1 = ψ(z) /(z − z* )s .

Вычет в точке z* дается формулой

Re s[H(z)z n−1 =	1 ds−1	ψ(z)
			.

	(s −1)! dzs−1
			z=z*

Если в точке z* имется только полюс первого порядка, то

Re s[H(z)z k−1 = ψ(z* ) .

В рассматриваемом примере

H(z) =

z(z

2 + 0,25)

z(z2 + 0,25)

−1,4z

+ 0,84z − 0,288

(z − 0,8)[z

− 0,6 exp(j

][z − 0,6 exp(−j 3)]

=z(z2 + 0,25)

(z − 0,8)(z2 − 0,6z + 0,36)

Эта функция имеет три простых полюса:

z*1 = 0,8; z*2 = 0,6 exp( j π); z*3

= 0,6 exp(−j π) .

Найдем вычеты.

Вычет в полюсе z*1.

Так как Res1=ψ1(z*1), а

z k−1

z(z 2 +0,25)

z k (z 2 +0,25)

ψ1(z) =

то

z 2 −0,6z +0,36

2 −0,6z +0,36

(0,8)k [(0,8)2 + 0,25]

Res =

=1,71 (0,8)k

(0,8)

2 − 0,6 0,8 + 0,36

Вычет в полюсе z*2.

В этом случае

zk (z2

ψ2 (z) =

+ 0,25)

(z − 0,8)[z − 0,6 exp(−j π)]

2π

(0,6e j3 )k [(0,6e j

3 )2 +0,25]

(0,6)k e jk

3 (0,36e j

Re s2 =

3 +0,25)

jπ

−jπ

(0,6e

jπ

(0,6e

3 −0,8)(0,6e

3 −0,6e

3 )

3 −0,8) j 1,04

Вычет в полюсе z*3.

(z2

ψ3 (z) =

+ 0,25)

(z − 0,8)[z −

0,6 exp(j π)]

2π

(0,6e j3 )n [(0,6e−j3 )2 +0,25]

(0,6)k e−j3

−j

Re s3 =

= −

(0,36e

+0,25)

−j

−jπ

(0,6e

3 −0,8)(0,6e

−0,6e

3 )

(0,6e

3 −0,8) 1,04

В этом примере удобно сложить Res2 и Res3. После соответствующих

преобразований эта сумма будет равна

(0,6)k

[0,432sin[(k +1)

] −0,576sin[(k

+ 2)

] + 0,3sin[(k

−1)

−0,4sin(k

)]

1,04

Импульсная характеристика, равная сумме трех вычетов

g(k) =1,71 (0,8)k +

(0,6)k

[0,432 sin[(k +1) π] − 0,576 sin[(k + 2)

π] +

1,04

+ 0,3sin[(k −1) π3 − 0,4 sin(k π3)].

Используя Matchad построим ее.

k := 0..20

		k			k					π	− .576 sin (k + 2) π + .3 sin		π		π
g k := 1.71 (.8)			+ (.6)			.432	sin		(k + 1)	3	− .576 sin (k + 2) π + .3 sin	(k − 1)	3	− .4 sin	3
			2
			2
	gk		1



			0





				0			10			20
								k

7. Вывести формулу частотной характеристики фильтра, рассчитать и построить его амплитудно-частотную характеристику.

Частотная характеристика фильтра может быть получена из выражения системной функции подстановкой z=exp(jωT).

Следовательно:
K(e jωT ) =	(e jωT )3	+	0,25e jωT
				.
	(e jωT )3 −1,4(e jωT )2			.
	(e jωT )3 −1,4(e jωT )2		+ 0,84e jωT − 0,288

Заменяя ejωT=cos(ωT)+jsin(ωT), получим:

K( jω) =	(cos3ωT + 0,25cosωT) + j(sin3ωT + 0,25sin ωT)
	(cos3ωT −1,4cos2ωT + 0,84cosωT −0,288) + j(sin3ωT −1,4sin 2ωT + 0,84sin ωT)

Амплитудно-частотная характеристика фильтра
:
8. Записать разностное уравнение цифрового фильтра и вычислить выходной
K(ω) =		1.0625 +.5cos(2ωT)
K(ω) =	3.75 −5.636cos(ωT) + 2.4864cos(2ωT) −.576cos(3ωT)
	ω := 0,102..5 104		T := .0002
K(ω) :=			1.0625+ .5			cos (2 ω T)
K(ω) :=			T) + 2.4864			cos (2 ω T) − .576 cos (3 ω T)
	3.75 − 5.635 cos (ω		T) + 2.4864			cos (2 ω T) − .576 cos (3 ω T)
		10
	K(ω )	5
		0	.	4		. 4
		0	.	4		. 4
		0	2 10	ω	4 10
				ω
сигнал.
			1+0,25z−2
Так как	H(z) =1−1,4z		−1 +0,84z−2 −0,288z−3
Так как
то ему соответствует следующее разностное уравнение:
y(kT) = x(kT) + 0,25x[(k − 2)T +1,4y[(k −1)T] − 0,84y[(k − 2)T] + +0,288y[(k −3)T]
	Решение разностного уравнения

k := 0..14			α := 103	T1 := 5.067 10−4
xk := α k T1 e−α k T1
y0	:= x0	y1 := x1		y2 := x2 + .25 x0 + 1.4 y1
y3	:= x3 + .25 x1 + 1.4 y2 − .84 y1
k := 4..14
y k := xk + .25 xk−2 + 1.4				y k−1 − .84 y k−2 + .288 y k−3
			k := 0..14
		2
		2

yk 1

0




	0	5	2710
			k

9. Записать выражение ДПФ сигнала на выходе фильтра и вычислить его. Построить график ДПФ выходного сигнала.

n := 0.. 14

14				− j n k 2	π
14				− j n k 2	15
S1n := T1 ∑ y k e					15
S1n := T1 ∑ y k e
		k =0
0.01
0.01
	S1n	0.005





0


			0	5	10	15
					n

Литература.

1.Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. М.: Радио и связь, 1986.512 с.

2.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник. М.: Выс-

шая школа, 2000. 462 с.

3.Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильт ров: Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1982. 109 с.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке методические указания по курсовой работе

#
22.02.2014468.78 Кб323TAY казань.pdf
#
22.02.20144.69 Mб383курсовая работа тау.doc