-
Динамические характеристики сау.
-
Временные характеристики сау.
Временные характеристики представляют собой зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче на ее вход некоторого типового воздействия. В ТАУ используются два вида временных характеристик:
-переходная характеристика (переходная функция);
-импульсная переходная характеристика (функция веса).
Переходной характеристикой h(t) называется зависимость выходного сигнала системы от времени при подаче на ее вход единичного ступенчатого воздействия 1(t) (рис.1.2) Данное входное воздействие определяется выражением g(t)
(1.18)
1 Рис.1.2
0
t
Изображение по Лапласу единичного ступенчатого воздействия
будет
Обозначим изображение переходной функции как H(s), а передаточную функцию системы как W(s) и получим
.
(1.19)
Переходная функция может быть определена по ее изображению использованием формулы обратного преобразования Лапласа, в частности с помощью таблиц преобразования Лапласа.
При неединичном ступенчатом воздействии g(t)=N1(t), где N=const, в соответствии с принципом суперпозиции выходная реакция системы будет
(1.20)
Импульсной переходной характеристикой (ИПХ) или функцией веса системы k(t) называется зависимость выходной величины от времени при подаче на вход воздействия в виде дельта- функции (t-), которая определяется следующим образом:
(1.21)
Определим основное свойство дельта- функции и ее связь с единичным ступенчатым воздействием. Допустим, что имеется некоторая функция g(t-) определяется выражением
(1.22)
g(t)
g(t-)
(t-)
1
t
a t
Рис.1.3. Дельта- функция Рис.1.4. Функция g(t-)
Найдем производную от функции g(t-).
(1.23)
Очевидно, что графически эта производная представляет собой прямоугольный импульс (рис.1.5), амплитуда которого возрастает с уменьшением величины а ,а длительность уменьшается. Площадь этого прямоугольника постоянна и равна единице.
-
a a a t
Рис.
1.5. График
функции
Из выражений (1.22), (1.23) и рисунков 1.3, 1.4 и 1.5 следует, что в пределе при а0 функция g(t-) стремится к единичному ступенчатому воздействию, т.е.
,
а
предел функции
равен
бесконечности
Отсюда можно сделать следующие выводы:
(1.24)
В частном случае, когда =0 изображение дельта- функции равно
т.е.
(s)=1.
Отсюда следует, что изображение функции веса определяется выражением
(1.25)
Следовательно
(1.26)
Функция веса системы может быть определена так же, как и переходная функция, или путем дифференцирования переходной функции в соответствии с первой формулой выражений (1.24).
Пример. Найти переходную функцию и функцию веса системы, имеющей передаточную функцию
Изображение переходной функции будет
где
Используя таблицы преобразования Лапласа, по полученному изображению найдем оригинал переходной функции
Для
изображения
функции веса можно записать
и по таблицам изображений Лапласа
получим
Аналогичный
результат получим дифференцированием
выражения для переходной функции.
h(t)
(t)
k
k
T
t t
Рис. 1.6. Переходная функция. Рис.1.7. Функция веса.
Импульсную переходную характеристику удобно использовать для определения реакции системы на некоторое воздействие f(t) произвольного вида
(1.27)
Естественно, что сигнал на выходе физически реализуемой системы не может появиться раньше входного сигнала, т.е. k(t)=0 при t<0. C точки зрения преобразования Лапласа это соответствует условию
(1.28)
Если
(1.29)
то условие (1.28) выполняется только при m< n. Это и есть выражение принципа физической реализуемости системы.