Тема 1. Дифференциальные уравнения. Методы решения оду первого порядка.
§1.1. Основные понятия и определения.
Определение1.Обыкновенным
дифференциальным уравнением (ОДУ)
называется уравнение, связывающее
независимую переменную
,
меняющуюся на некотором интервале
числовой прямой
,
,
независимую функцию
и её производные
.
В общем виде ОДУ можно записать так:
, где
-
неизвестная функция от
переменных.
Определение2. Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение.
Определение3. Функция
называется решением дифференциального
уравнения, если при подстановке в данное
уравнение получается верное тождество.
(для
.)
Таким образом, ОДУ имеют бесконечное множество решений.
Рассмотрим уравнение первого порядка:
(1)
Если это уравнение можно разрешить
относительно
,
то мы получим уравнение вида
(*), которое называется уравнением,
разрешенным относительно производной.
Простейшим видом такого уравнения
является уравнение
.
Пусть
- непрерывная на
функция, тогда решение уравнения (*)
будет иметь вид
(2), где
.
Как видим, уравнение тоже имеет бесконечное
множество решений. Для того, чтобы
выделить единственное решение, необходимо
наложить дополнительное условие:
,
которое называется условием Коши. Тогда
из формулы (2) найдем единственное
решение
Рассмотрим дифференциальное уравнение
(3)
с условием
(4) .
Уравнение (3) с условием (4) называется задачей Коши. Решить задачу Коши – значит найти решение уравнения (3), которое удовлетворяет начальному условияю (4).
Теорема (существования и единственности решения задачи Коши)
Пусть функция
в некоторой области
непрерывна, точка
и удовлетворяет в
условию Липшица:
(это условие равносильно тому, что
непрерывна в
).
Тогда существует единственное решение
задачи Коши (3),(4) на промежутке
.
Замечание1: Геометрическая
интерпретация теоремы: при выполнении
условии теоремы через каждую точку
проходит интегральная прямая и при том
только одна (общему решению соответствует
семейство интегральных прямых)
Замечание2. Из формулировки теоремы следует, что уравнение (3) имеет бесконечно много решений, зависящих от одной произвольной постоянной.
Пример:
Общее решение этого уравнения
.
Тогда
.
Если в данной точке условия теоремы нарушены, то через нее либо вообще не проходит ни одна интегральная прямая, либо проходит бесконечное множество интегральных кривых.
Замечание3. В уравнении (3)
переменные
и
неравноправны:
-независимая
переменная, а
-
функция от
,
но во многих задачах, приводящих к
уравнению (3),
и
могут быть равноправны. В этом случае
дифференциальное уравнение записывают
в дифференциалах:
(5)
(5’) – уравнение
в дифференциалах.
§1.2. Уравнения с разделяющимися переменными.
Определение. Уравнением с
разделяющимися переменными называется
уравнение вида
(1), где
-
непрерывные на
функции. Перепишем уравнение (1) в
виде:
- уравнение с разделенными переменными.
(2)
В уравнении (2)
фиксированы и
.
Формула (2) записывается в виде (2’)
, где
-
произвольная постоянная.
Однако формула (2) не дает всех решений
уравнении (1), так как при её выводе
мы делили на
,
которое может обращаться в ноль.
Таким образом, все решения уравнения
(1) определяется формулой (2) или
(2’) и нулями функции
.
Пример:
Замечание. К уравнению с разделяющимися переменными сводятся и уравнения вида:
Заменим неизвестную функцию
,
пусть
Так как в правой части стоит функция,
зависящая только от
,
то полученное уравнение с разделяющимися
переменными.
Пример:
Вернемся к переменной
:
