6.4 . Дискриминантный анализ

Дискриминантный анализ позволяет проверить гипотезу о возможности классификации заданного множества объектов n, характеризуемых некоторым числом t переменных показателей x, на некоторое число классов или кластеров k.Для анализа определяется набор дискриминирующих функций d₁, обеспечивающих классификацию объектов на заданное число классов :

d₁=b₁₀+b₁₁хx_i+…+b_lmхx_m.

Классы I нумеруются натуральными числами от 1 до k, где k – число классов I=1,…,k.

Исходные данные представляются в виде матрицы размером (t+1*n, причем n строк характеризуют n объектов. Первые t столбцов – это значения t переменных для n объектов, а ( m+1) столбец для каждого объекта – это номер его класса . Если необходимо классифицировать ряд новых объектов, то такие объекты включаются в матрицу данных с номером класса 0.

Результаты анализа представляют собой следующие оценки: суммарное межкластерное расстояние Mахаланобиса D² с уровнем значимости P для нулевой гипотезы «D²=0» , т. е. гипотезы о невозможности расчленения совокупности объектов на заданное число классов; коэффициенты дискриминирующей функции, обеспечивающей отнесение объектов к данному классу;данные для каждого объекта j, в том числе номер его класса r, расстояние Махаланобиса от объекта до центра класса, уровень значимости P нулевой гипотезы «», т.е. гипотезы о том, что объект может быть отнесен к данному классу, а также вероятности P_jr отнесения объекта к этому классу. Считается, что если P>0,05, то соответствующая нулевая гипотеза может быть принята, во всех других случаях – отвергнута.

В табл. 6.12 дана вероятностная оценка результатов кластерного анализа.Для этого использована программа STADIA 5.0.Показатели предприятий введены в первый и второй столбцы электронной таблицы, в третий столбец – номера классов, полученные при кластеризации. Используя блок «Статистика» и процедуру «Дискриминантный анализ», получим следующие результаты. Расстояние Махаланобиса – 7,558, значимость — 0,0288, остальные результаты приведены в табл. 6.12.

Таблица 6.13

Классификация предприятий методом дискриминантного анализа

Номер предприятия	Класс	D2	Уровень значимости	Вероятность отнесния, Pjr
1	2	3	4	5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1 1 2 1 1 2 2 2 2 2	1.558 1.307 0.555 1.524 3.336 3.054 0.417 2.095 1.528 0.625	0.4588 0.5203 0.7574 0.4666 0.1886 0.2171 0.8118 0.3508 0.4658 0.7315	0.8851 0.9999 0.9999 0.8968 1.0000 0.9996 0.9984 0.8954 0.9994 0.9812

Классификация вероятностно обоснована, только отнесение предприятий № 1 и 4 к своим классам сделано с не очень высокой вероятностью, которая в данном случае составляет соответственно 88 и 89%.