2. Метод дифференциального исчисления

Метод дифференциального исчисления является теоретической основой количественной оценки влияния отдельных факторов на изменение результативного (обобщающего) показателя. В основу метода положена формула Тейлора:

(4.5)

где f – функция; х_i – факторы; ρ – евклидова норма вектора приращения факторов; 0(ρ) – функция бесконечно малая, порядка выше ρ, т.е. убывающая при ρ → 0 быстрее, чем ρ.

При использовании этого метода предполагается, что общее приращение функции (результативного признака) раскладывается на слагаемые. Значение каждого из слагаемых (кроме последнего) определяется умножением соответствующей частной производной (взятой при начальных значениях факторов) на изменение фактора, по которому вычислена данная производная. Если функция у=f(a,b) дифференцируема, то используя формулу Тейлора, ее приращение можно выразить как:

(4.6)

где Δу=у₁-у₀ — изменение функции (результативного показателя);

Δа =а₁-а₀ — изменение фактора а;

Δb = b₁-b₀ — изменение фактора b;

0() — бесконечно малая величина (остаточный член или логическая ошибка метода дифференцирования) более высокого порядка, чем ().

Таким образом, влияние факторов а и b на изменение результативного показателя определится по формулам:

Cумма Δу_а и Δу_b представляет собой главную, линейную относительно приращения факторов часть приращения дифференцируемой функции. Параметр 0() мал при достаточно малых изменениях факторов, при значительных изменениях переменных остаточный член может существенно отличаться от нуля.

Рассмотрим применение метода дифференцирования в решении задачи прямого детерминированного факторного анализа для двухфакторной мультипликативной модели.

Необходимо определить влияние факторов на изменение объема товарной продукции. Значения результативного показателя и факторов приведены в таблице 4.1

Таблица 4.1

Исходные данные для факторного анализа

Наименование показателей	Начальный период	Конеч ный период	Абсолют ное отклонение
1.Объем товарной продукции, тыс. грн. (у)	1020	927	-93
2.Численность рабочих, чел. (а)	100	90	-10
3.Средняя выработка одного рабочего за период, тыс.грн. (b)	10.2	10.3	+0.1

Условием задачи задана мультипликативная двухфакторная система у=аb. Определим влияние факторов на изменение объема товарной продукции.

Влияние изменения численности рабочих на изменение объема товарной продукции :

Δу_а=b₀∆a=10,2x(-10)= -102 тыс.грн.

Влияние изменения средней выработки одного рабочего на изменение объема товарной продукции :

Δу_b=a₀Δb=100x0,1=10 тыс. грн.

Легко доказать, чему равен остаточный член равенства:

0 ()= Δу - Δу_а+ Δу_b=(a₁b₁ –a₀b₀) - b₀ ∆a- a₀ Δb=( a₁b₁ –a₀b₀) - b₀ (a₁-a₀)-

a₀ (b₁-b₀)= a₁b₁ – a₀b₀ – a₁b₀+a₀b₀ – a₀b₁ +a₀b₀ = a₁(b₁-b₀)- a₀(b₁-b₀)=(a₁-a₀)(b₁-b₀)=∆a∆b.

Таким образом, в данной задаче величина остаточного члена или т.н. неразложимого остатка равна:

∆a∆b= - 10 х 0,1= -1тыс.грн.

Баланс отклонений:

Δу = Δу_а+ Δу_b + ∆a∆b= -102+10 –1= -93 тыс.грн.

По результатам решения задачи можно сделать вывод, что объем товарной продукции за анализируемый период уменьшился на 93 тыс.грн. На изменение результативного показателя факторы оказывали разнонаправленное действие. Так, при уменьшении численности рабочих на 10 человек объем товарной продукции уменьшился на 102 тыс.грн. Рост выработки одного рабочего на 0.1 тыс.грн за анализируемый период позволил увеличить объем товарной продукции на 10 тыс.грн. Следовательно, уменьшение объема товарной продукции было вызвано уменьшением величины экстенсивного фактора (численности рабочих).

В методе дифференцирования неразложимый остаток, который интерпретируется как логическая ошибка данного метода, вносит погрешность при определении величин влияния факторов. В этом состоит неточность рассматриваемого метода.