7.2. Исследование функций и построение их графиков

Исследование функций и построение их графиков удобно выпол-нять по следующей схеме.

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Установить интервалы монотонности функции. Найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках.

6. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.

7. Используя результаты проведенного исследования, построить график функции. При необходимости уточнения отдельных участков кривой можно вычислить координаты нескольких дополнительных точек (в частности, координаты точек пересечения графика с осями координат).

Пример 7.4. Исследовать функцию и построить ее график.

Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точек .

Функция нечетная, так как , ее график симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно исследовать функцию для . Прямые х = –2 и х = 2 являются вертикальными асимптотами, поскольку . Найдем наклонные асимптоты :

;

.

Следовательно, – наклонная асимптота.

Производная функции обращается в нуль при и .

Вторая производная

обращается в нуль при .

Составим таблицу

х	0	(0; 2)	2	(2; )		()
	0	+	Не сущ.	+	0	–
	0	+	Не сущ.	–	–	–
у	0		Не сущ.			

Следовательно, – точка максимума, . В силу нечетности имеем: – точка минимума . Поскольку при и при , то х = 0 – абсцисса точки перегиба, 0(0;0) – точка перегиба.

Используя полученные данные, строим график функции (рис. 7.1).

Рис. 7.1

Контрольная работа № 1

1 – 20. Решить системы по формулам Крамера, матричным способом и методом Гаусса.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21 – 40. Даны вершины треугольника А, В, С. Найти уравнение и длину высоты, опущенной из вершины В.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41 – 60. Найти угол (в градусах) между плоскостью и плоскостью, проходящей через точки М₁, М₂, М₃.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61 – 80. Упростить уравнение кривой и изобразить ее на рисунке.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81 – 100. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

81. а) ; б) ;

в) ; г) .

82. а) ; б) ;

в) ; г) .

83. а) ; б) ;

в) ; г) .

84. а) ; б) ;

в) ; г) .

85. а) ; б) ;

в) ; г) .

86. а) ; б) ;

в) ; г) .

87. а) ; б) ;

в) ; г) .

88. а) ; б) ;

в) ; г) .

89. а) ; б) ;

в) ; г) .

90. а) ; б) ;

в) ; г) .

91. а) ; б) ;

в) ; г) .

92. а) ; б) ;

в) ; г) .

93. а) ; б) ;

в) ; г) .

94. а) ; б) ;

в) ; г) .

95. а) ; б) ;

в) ; г) .

96. а) ; б) ;

в) ; г). .

97. а) ; б) ;

в) ; г). .

98. а) ; б) ;

в) ; г). .

99. а) ; б) ;

в) ; г). .

100. а) ; б) ;

в) ; г). .

101 – 120. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва; в условии б дополнительно построить график функции.

101. а) ; б)

102. а) ; б)

103. а) ; б)

104. а) ; б)

105. а) ; б)

106. а) ; б)

107. а) ; б)

108. а) ; б)

109. а) ; б)

110. а) ; б)

111. а) ; б)

112. а) ; б)

113. а) ; б)

114. а) ; б)

115. а) ; б)

116. а) ; б)

117. а) ; б)

118. а) ; б)

119. а) ; б)

120. а) ; б)

121 – 140. Найти производные первого и второго порядков от функ-ций, заданных параметрически:

121.

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

131.

132.

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

141 – 160. Написать формулу Тейлора третьего порядка с остаточным членом в форме Лагранжа для заданной функции в точке .

141. 142.

143. 144.

145. 146.

147. 148.

149. 150.

151. 152.

153. 154.

155. 156.

157. 158.

159. 160.

161-180. Исследовать функцию и построить ее график.

161. 162. 163.

164. 165. 166.

167. 168. 169.

170. 171. 172.

173. 174. 175.

176. 177. 178.

179. 180.