Глава 5. Методы оптимизации в задачах нелинейного программирования

5.1. Общая постановка задачи.

В самом широком смысле общая задача нелинейного программирования заключается в отыскании экстремума целевой функции при заданных ограничениях в виде равенств и (или) неравенств. Задача нелинейного программирования формулируется так же, как и общая задача оптимального программирования, т.е. в виде (5.1.1) — (5.1.3), со следующими требованиями к целевой функции и допустимой области: целевая функция или (и) хотя бы одно из ограничений являются нелинейными:

max(min) , (5.1.1)

, (5.1.2)

(5.1.3)

Хотя в некоторых частных случаях ограничения в виде равенств могут быть явно разрешены относительно выбранных переменных, которые затем исключаются из задачи как независимые переменные, и в задаче остаются только ограничения в виде неравенств (см. пример 5.1), чаще всего ограничения в виде равенств не могут быть явно разрешены и поэтому сохраняются.

У произвольной задачи нелинейного программирования отсутствуют рассмотренные в главе 4 некоторые свойства задачи линейного программирования (ЗЛП). Вследствие этого задачи нелинейного программирования несравненно сложнее задач ЛП и для них не существует общего универсального метода решения (аналогичного симплексному методу).

Теория условного экстремума активно используется в микро- и макроэкономической теории. В задачах этой теории обычно локальный условный экстремум является также и глобальным условным экстремумом.

5.2. Метод множителей Лагранжа

Особое место в нелинейном программировании занимают задачи типа

max(min) , (5.2.1)

(5.2.2)

для решения которых можно воспользоваться классическим методом оптимизации Лагранжа, или методом разрешающих множителей Лагранжа.

Для лучшего понимания метода вначале рассмотрим пример решения задачи (5.2.1), (5.2.2) в простом случае n=2, m=1.

Пример 5.1. Найти экстремум функции

(5.2.3)

при условии, что

(5.2.4)

т.е. решить задачу на условный экстремум.

Отметим прежде всего, что экстремум функции (5.2.3) отыскивается не на всей плоскости 0х₁х₂ , а только на прямой (5.2.4).

Естественным является следующий способ решения задачи. Выразим из уравнения (5.2.4) переменную х₂ через переменную х₁ и подставим полученное выражение в функцию (5.2.3). Тогда задача (5.2.3), (5.2.4) на условный экстремум функции двух переменных сведется к задаче на безусловный экстремум функции одной переменной х₁.

Для решения задачи на безусловный экстремум найдем первую производную функции и приравняем ее к нулю: откуда получим, что . Из полученного следует, что – точка условного глобального минимума функции (5.2.3), а сам условный минимум равен .

Решение рассмотренного примера подсказывает естественный на первый взгляд способ решения задачи (5.2.1), (5.2.2) путем сведения исходной задачи на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум. Однако, к сожалению, выразить аналитически одни переменные через другие часто бывает сложно или невозможно. По этой причине описанная простая идея не может быть использована в качестве универсального метода решения задачи (5.2.1), (5.2.2) на условный экстремум.

В конце XVIII века Лагранж предложил остроумный метод решения задачи (5.2.1), (5.2.2) на условный экстремум, в котором не следует прибегать к разрешению уравнения (5.2.2) относительно переменной. В этом методе число независимых переменных не сокращается, а, наоборот растет.

При решении поставленной задачи (5.2.1) - (5.2.2) методом множителей Лагранжа мы предполагаем, что функции f и непрерывны вместе со своими первыми частными производными.

Для решения задачи составляется функция Лагранжа L:

(5.2.5)

и вычисляются частные производные этой функции по переменным и множителям Лагранжа . Производные приравнивают нулю и получают систему уравнений:

(5.2.6)

(5.2.7)

Здесь – новые независимые переменные (называемые множителями Лагранжа).

В основе метода Лагранжа решения классической задачи оптимизации (5.2.1) - (5.2.2) лежит утверждение, что если целевая функция в точке имеет экстремум, то существует такой вектор , что точка является решением системы (5.2.1) - (5.2.2). Следовательно, решая систему (5.2.6), (5.2.7), мы получаем множество стационарных точек, в которых функция Z может иметь экстремальные значения. При этом, как правило, неизвестен способ определения точек глобального максимума или минимума. Однако если решения системы найдены, то для определения глобального максимума или минимума достаточно найти значения функции в соответствующих точках области определения.

Пример 5.2. Требуется построить цилиндрический резервуар емкостью V=10 м³ при наименьшем расходе материала. Таким образом, целевой функцией является площадь поверхности резервуара

а функциональное ограничение налагается на объем:

или в наших обозначениях:

.

Р е ш е н и е. Строим функцию Лагранжа:

.

Определяем частные производные этой функции по переменным , приравниваем их нулю и получаем систему уравнений:

Решая эту систему находим значения искомых переменных, обеспечивающих минимум целевой функции f :

При оптимальные размеры резервуара составляют: l = 2,334 м, r = 1,167 м.

Методы, основанные на использовании множителей Лагранжа, относятся к категории параметрических методов штрафных функций, поскольку для них характерно то, что функции-ограничения вводят в структуру модифицированной целевой функции совместно с некоторым переменным параметром. Для обобщения метода, ограничения в виде неравенств преобразуются в ограничения, имеющие вид равенств, путем введения надлежащих ослабляющих переменных (на каждое ограничение-неравенство по одной ослабляющей переменной). Задача нелинейного программирования в общей постановке (5.1.1) –(5.1.3) принимает при этом следующий вид:

минимизировать f(x),

при ограничениях

Если вычесть из , то можно гарантировать, что ограничивающее условие, имеющее в исходной постановке задачи вид неравенства, действительно выполняется. Тогда можно определить обычным образом функцию Лагранжа

где ― неотрицательные и не зависящие от х весовые коэффициенты, которые можно отождествить с множителями Лагранжа.

Короче говоря, условный минимум функции f(x) имеет место в стационарной точке для и, в частности, в седловой точке пространства, так что задача с ограничениями превращается в задачу определения седловой точки в отсутствии ограничений.

Пример 5.3. Рассмотрим в качестве примера следующую задачу:

минимизировать

при ограничении

Подлежащая минимизации функция Лагранжа имеет вид

.

Необходимые условия существования экстремума:

Решение полученной системы для приведено в табл. 2

Т а б л и ц а 2

λ1	х1	х2	Точка	v1	f(x)	Примечание
0 0,5 0,5 -0,5 -0,5	0 +3,54 -3,54 +3,54 -3,54	0 -3,54 +3,54 +3,54 -3,54	E D A B C	5 0 0 0 0	0 -12,5 -12,5 +12,5 +12,5	Седловая точка Минимум Минимум Максимум Максимум

Векторы являются стационарными решениями рассмотренного примера. Заметим, что решения при являются минимумами (точки D и A), при ― максимумами (точки B и C), а при ― седловой точкой E функции

Метод множителей Лагранжа может оказаться непригодным в случае невыпуклых задач, для решения которых успешно применяются другие методы нелинейного программирования. Этот метод также малоэффективен в случае задач нелинейного программирования большой размерности. Для данного метода и соответствующих вычислительных процедур было разработано несколько пакетов прикладных программ для ЭВМ, но ни одна из них не оказалась достаточно эффективной при решении задачи нелинейного программирования общего вида (5.1.1) — (5.1.3).