Алгоритм симплекс-метода решения злп. Алгоритм симплекс-метода решения злп продемонстрируем на простом примере.

Рассмотрим конкретную задачу.

Целевая функция имеет вид:

F(x₁,x₂)=2x₁+3x₂ → max.

Ее функциональные ограничения представляют собой систему неравенств :L1 – L4:

х₁+3х₂ ≤ 18, (L1)

2х₁+х₂ ≤ 16, (L2)

х₂ ≤ 5, (L3)

3х₁ ≤ 21; (L4)

а прямые ограничения заданы неравенствами L5, L6:

х₁ ≥ 0, (L5)

х₂ ≥ 0. (L6)

Требуется найти решение данной ЗЛП симплексным методом.

Для наглядности, на рис 14 представлена заданная в условии задачи область ее допустимых решений ABCDEG и линии равных уровней целевой функции, показанные пунктиром.

X₂

L6

L3

L1

7

6

5

4

3

2

1

0

L4

L2

В

С

А

D

X₁

L5

G

E

1 2 3 4 5 6 7 8

Рис. 14

Приведем исходную задачу к каноническому виду, для чего обратим имеющуюся систему функциональных неравенств в равенства, вводя для этого в каждое из них соответствующую неотрицательную переменную:

х₁+3х₂ + х₃ = 18,

2х₁+х₂ + х₄ = 16,

х₂ + х₅ = 5,

3х₁ + х₆ = 21.

Все дополнительные переменные введены со знаком «+», так как рассматриваемые неравенства имеют знак « ≤ ».

Для нахождения первоначального базисного решения разобьем переменные на две группы: основные и неосновные. (Напомним, что базисным решением системы m линейных уравнений с n переменными называют решение, в котором все (n – m) неосновных переменных равны нулю.)

В качестве основных переменных на первом шаге нужно выбрать такие переменные, каждая из которых входит только в одно уравнение системы ограничений и при этом нет таких уравнений системы, в которые не входит ни одна из этих переменных. Количество основных переменных равно m.

Если выбранные по этому правилу переменные имеют те же знаки, что и соответствующие им свободные члены в правых частях уравнений, то полученное таким образом базовое решение будет допустимым.

Алгоритм решения задачи разобьем на ряд шагов N ⁱ, где N – номер шага, а индекс i – номер итерации.

Шаг 1¹. Определим состав основных и неосновных переменных.

В соответствии с вышеизложенным правилом:

основные переменные: х₃, х₄, х₅, х₆;

неосновные переменные: х₁, х₂.

Шаг 2¹. Используя систему равенств, выразим основные переменные через неосновные:

х₃ = 18 - х₁ - 3х₂,

х₄ = 16 - 2х₁- х₂,

х₅ = 5 - х₂,

х₆ = 21 - 3 х₁.

Шаг 3¹. Положив неосновные переменные равными нулю, получим первое базисное решение:

Х¹ = (х₁¹ = 0, х₂¹ = 0, х₃¹ = 18, х₄¹ = 16, х₅¹ = 5, х₆¹ = 21).

Полученное на первой итерации решение соответствует вершине А на рис 16.

Шаг 4¹. Выразим целевую функцию через неосновные переменные и определим ее значение при выбранном базисном решении:

F =2x₁+3x₂ = 0.

Шаг 5¹. Проверим, доставляет ли выбранное базисное решение оптимум целевой функции F. Для этого воспользуемся критерием оптимальности решения при нахождении максимума целевой функции: если в выражении целевой функции через неосновные переменные отсутствуют положительные коэффициенты при неосновных переменных, то решение является оптимальным.

В соответствии с данным критерием исследуемое базисное решение не является оптимальным, следовательно, необходимо перейти к другому базисному решению.

Шаг 6¹. Сформулируем основное правило перехода к лучшему (не худшему) решению: в новый состав основных переменных вводится та из неосновных переменных, которая имеет наибольший положительный коэффициент в целевой функции.

В данном случае это коэффициент при x₂.

Чтобы новое опорное решение, с одной стороны улучшало значение целевой функции, а с другой — было бы опорным, необходимо определить:

• как должна измениться (увеличиться) переменная x₂, вошедшая в новый состав основных переменных;

• какая переменная из «бывших основных» должна перейти в новый состав неосновных переменных при переходе от одного (старого) базисного решения к другому — новому.

Чтобы оценить, в каких пределах возможно изменение переменной x₂, необходимо определить, при каких значениях x₂ каждая из «старых» основных переменных останется неотрицательной. Соблюдение этого условия и делает новое искомое решение допустимым.

Очевидно, что для этого должны выполняться следующие неравенства:

х₃ = 18 - х₁ - 3х₂ ≥ 0, х₂ ≥ 18/3;

х

(4.4.1)

₄ = 16 - 2х₁- х₂ ≥ 0, х₂ ≥ 16;

х₅ = 5 - х₂ ≥ 0, х₂ ≥ 5;

х₆ = 21 - 3 х₁ ≥ 0.

Каждое из неравенств системы (4.4.1) определяет возможные границы изменения переменной х₂. В частности, из последнего неравенства системы следует, что переводимая переменная может возрастать неограниченно, т.е. ее граница может быть обозначена как ∞.

Очевидно, что допустимость решения будет обеспечена только в том случае, если будут выполнены все ограничения системы (4.4.1). В свою очередь, это условие будет выполняться, если:

х₂ = min{18/3; 16/1; 5/1; ∞}.

При х₂ = 5 переменная х₅ обращается в 0 и переходит в разряд неосновных. Уравнение, где достигается наибольшее возможное значение переменной х₂, называется разрешающим. После проделанных преобразований вновь возвращаемся к первому шагу.

Шаг 1². Определяем состав основных и неосновных переменных:

основные переменные: х₂, х₃, х₄, х₆;

неосновные переменные: х₁, х₅.

Шаг 2². Выразим основные переменные через неосновные, воспользовавшись соотношением из разрешающего уравнения:

х₂ = 5 – х₅, х₂ = 5 – х₅;

х₃ = 18 - х₁ – 3(5 – х₅), х₃ = 3 - х₁ + 3х₅;

х₄ = 16 - 2х₁- (5 – х₅), х₄ = 11 - 2х₁ + х₅;

х₆ = 21 - 3 х₁, х₆ = 21 - 3 х₁.

Шаг 3². Положив неосновные переменные равными нулю, получим новое базисное решение:

Х² = (х₁² = 0, х₂² = 5, х₃² = 3, х₄² = 11, х₅² = 0, х₆² = 21).

Полученное на второй итерации решение соответствует вершине В на рис 16.

Шаг 4². Выразим целевую функцию через неосновные переменные и определим ее значение при данном базисном решении:

F =2x₁+3х₂ = 2x₁+3(5–х₅) = 2x₁+15–3 х₅ = 15.

Шаг 5². Проверим, доставляет ли данное базисное решение оптимум целевой функции F. Коэффициент при x₁ в выражении целевой функции через неосновные переменные положителен, следовательно данный узел в многоугольнике решений с координатами х₁ = 0, х₂ = 5 не доставляет оптимума целевой функции и необходимо искать новое базисное решение.

Шаг 6². Используя сформулированное на шаге 6¹ правило перехода к лучшему решению, введем в новый состав основных переменных x_1.

Определим допустимое значение x₁ и разрешающее уравнение.

х₂ = 5 – х₅ ≥ 0, x₁ ≤ ∞;

х₃ = 3 - х₁ + 3х₅ ≥ 0, x₁ ≤ 3/1;

х₄ = 11 - 2х₁ + х₅ ≥ 0, x₁ ≤ 11/2;

х₆ = 21 - 3 х₁ ≥ 0, x₁ ≤ 21/3.

Отсюда:

х₁ = min{∞; 3/1; 11/2; 21/3}= 3.

Из разрешающего уравнения следует, что если х₁= 3, то х₃ = 0, следовательно, можно вернуться к первому шагу в третьем приближении.

Шаг 1³. Определим новый состав основных и неосновных переменных:

основные переменные: х_1, х₂, х₄, х₆;

неосновные переменные: х₃, х₅.

Шаг 2³. Выразим основные переменные через неосновные:

х₁ = 3 – х₃ + 3х₅, х₁ = 3 – х₃ + 3х₅;

х₂ = 5 – х₅, х₂ = 5 – х₅;

х₄ = 11 – 2 (3 – х₃ + 3х₅)+ х₅, х₄ = 5 + 2х₃ - 5х₅;

х₆ = 21 - 3 (3 – х₃ + 3х₅), х₆ = 12 + 3х₃ - 9х_5.

Шаг 3³. Положив неосновные переменные равными нулю, получим новое базисное решение:

Х³ = (х₁³ = 3, х₂³ = 5, х₃³ = 0, х₄³ = 5, х₅³ = 0, х₆³ = 12).

Полученное на третьей итерации решение соответствует вершине С на рис 16.

Шаг 4³. Выразим целевую функцию через неосновные переменные и определим ее значение при данном базисном решении:

F = 2x₁+3х₂ = 2 (3 – х₃ + 3х₅)+3 (5 – х₅) = 21 - 2х₃ + 3х₅ = 21.

Шаг 5³. Проверим критерий оптимальности: он опять не выполняется, так как коэффициент при х₅ положителен.

Шаг 6³. Вновь используя сформулированное на шаге 6¹ правило перехода к лучшему решению, введем в новый состав основных переменных x_5.

Определим допустимое значение x₅ и разрешающее уравнение:

х₁ = 3 – х₃ + 3х₅ ≥ 0, x₅ ≤ ∞;

х₂ = 5 – х₅ ≥ 0, x₅ ≤ 5;

х₄ = 5 + 2х₃ - 5х₅ ≥ 0, x₅ ≤ 5/5;

х₆ = 21 – 3 (3 – х₃ + 3х₅)≥ 0, x₅ ≤ 12/9.

Отсюда:

х₅ = min{∞; 5; 5/5; 12/9}= 1.

Из разрешающего уравнения следует, что при х₅=1→ х₄=0, следовательно х₄ переходит в состав неосновных переменных. Вновь возвращаемся к первому шагу.

Шаг 1⁴. Определяем новый состав переменных:

основные переменные: х_1, х₂, х₅, х₆;

неосновные переменные: х₃, х₄.

Шаг 2⁴. Выразим основные переменные через неосновные. Воспользовавшись разрешающим уравнением, получаем:

х₄ = 5 + 2х₃ - 5х₅,

х₅ = 1 +2/5 х₃ – 1/5 х₄,

х₁ = 3 – х₃ + 3(1 +2/5 х₃ – 1/5 х₄),

х₂ = 5 - 1 - 2/5 х₃ + 1/5 х₄,

х₆ = 12+3х₃ – 9(1 + 2/5 х₃ – 1/5 х₄),

или после преобразования:

х₁ = 6 +1/5 х₃ – 3/5 х₄,

х₂ = 4 - 2/5 х₃ + 1/5 х₄,

х₅ = 1 +2/5 х₃ – 1/5 х₄,

х₆ = 3 - 3/5 х₃ + 9/5 х₄.

Шаг 3⁴. Положив неосновные переменные равными нулю, получим новое базисное решение:

Х⁴ = (х₁⁴ = 6, х₂⁴ = 4, х₃⁴ = 0, х₄⁴ = 0, х₅⁴ = 1, х₆⁴ = 3).

Полученное на четвертой итерации решение соответствует вершине D на рис 16.

Шаг 4⁴. Выразим целевую функцию через неосновные переменные и определим ее значение при данном базисном решении:

F = 2x₁+3х₂ = 2 (6 + 1/5 х₃ – 3/5 х₄)+3 (4 – 2/5 х₃ +1/5 х₄) = 24 – 4/5 х₃ – 3/5 х₄ = 24.

Шаг 5⁴. Используя критерий оптимальности, приходим к выводу, что на этот раз он выполняется и что исследуемое базисное решение является оптимальным.

Рассмотренный пример показывает, что за несколько итераций, каждая из которых содержит определенное число шагов, в задаче линейного программирования может быть найдено оптимальное решение. Существенно, что количество итераций меньше числа узлов в области допустимых решений. В нашем примере, мы пропустили не оптимальные узлы G и E в многоугольнике решений на рис 16.

С точки зрения практического использования результатов решения ЗЛП классификация переменных на основные и неосновные не имеет значения и при анализе оптимального решения может не учитываться. Неосновные переменные обязательно имеют нулевое значение.

Для использования приведенной выше процедуры симплекс-метода при минимизации целевой функции F(X) следует искать максимум функции F₁(X) = - F(X), затем полученный максимум взять с противоположным знаком. Это и будет искомый минимум исходной ЗЛП.