лекции / tau_lekciy / 06 - Статические и астатические САР

Лекция 6

(4 часа)

СТАТИЧЕСКИЕ И АСТАТИЧЕСКИЕ САР

Понятие статических и астатических САР.

Порядок астатизма

Рассмотрим структурную схему САР, изображенную на рис.6.1.

Задача – каким-то образом воспроизводить x(s) в соответствии с заданием g(s), уменьшив при этом (в идеале – исключив) влияние возмущения f(s) на регулируемую координату.

Напоминание. Статической называется система, в которой при наличии возмущения (нагрузки) присутствует ошибка регулирования, зависящая от его величины. В противном случае САР называется астатической. (Лекция 1)

Статизм и астатизм САР рассматривается раздельно применительно к управляющему g(s) и возмущающему f(s) воздействиям.

Для систем точного воспроизведения представляет интерес вопрос, является ли САР статической или астатической по управляющему воздействию. Если ошибка воспроизведения управляющего воздействия

в установившемся режиме (при ) равна нулю, то САР называется астатической по управляющему воздействию. В противном случае САР называется статической.

Рассмотрим приведенное определение применительно к постоянному управляющему воздействию – (рис.6.2): в случае 1 – следовательно, САР астатическая; в случае 2 отлична от нуля – САР статическая.

Учитывая, что в системах могут иметь место самые различные воздействия (см. рис. 4.4 – типовые воздействия), для астатических систем вводится понятие порядка астатизма (1, 2, 3, …). Так, случаю 1 на рис.6.2 соответствует порядок астатизма по управляющему воздействию 1, случаю 2 – 0 (САР статическая).

При линейно изменяющемся управляющем воздействии (рис.6.3) (кривая 1-го порядка) ошибка в установившемся режиме будет равна нулю, если САР обладает порядком астатизма по управляющему воздействию, при 1 в установившемся режиме будет иметь место постоянная ошибка , отличная от нуля. При 0 ошибка будет увеличиваться.

Аналогично вводится понятие астатизма 3 по управляющему воздействию при квадратичном изменении управления (рис.6.4) (кривая 2-го порядка) и т.д.

Вопросом статизма или астатизма по отношению к возмущающему воздействию интересуются в системах стабилизации. Если возмущающее воздействие оказывает влияние на регулируемую координату в установившемся режиме, то система называется статической по возмущающему воздействию, в противном случае – астатической.

Под статической характеристикой понимают зависимость при постоянном управляющем воздействии (рис.6.5). Для САР, астатической по возмущению, статическая характеристика представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс.

В технических САР в роли возмущения обычно выступает нагрузка силового агрегата, которая может изменяться в заранее установленном диапазоне (рабочем). При этом максимальное значение возмущения обычно имеет место в нормальном (номинальном) режиме работы САР. Величина ошибка регулируемой координаты в номинальном режиме работы называется статизмом.

Примечание. Одна и та же САР может быть астатической по отношению к управляющему воздействию, но статичной по отношению к возмущающему, и наоборот. Поэтому при использовании терминов статическая или астатическая всегда следует добавлять, по отношению к какому воздействию термин применяется.

Системы точного воспроизведения

Обычно для таких систем ПФ цепи ОС равна единице:

,

т.е., вход равен выходу (рис.6.6).

Для определения установившейся ошибки может быть использована теорема о конечном значении (табл.2.2):

.

Если окажется, что , САР является астатической, в противном случае – статической.

Представим ПФ разомкнутой САР (рис.6.6) в виде:

,

где – нормированная ПФ разомкнутой САР, где .

– порядок астатизма ПФ разомкнутой системы;

Система будет статической (), если интегрирующие звенья в чистом виде отсутствуют, либо все они скомпенсированы дифференцирующими. В противном случае САР будет астатической.

Для определения установившейся ошибки необходимо найти ПФ, считая входом управляющее воздействие g(s), а выходом – сигнал ошибки e(s):

. (1)

Тогда установившаяся ошибка может быть вычислена следующим образом:

. (2)

В частном случае, при (постоянное воздействие), когда , установившаяся ошибка будет равна:

. (3)

Из (3) видно, что САР будет астатической, если . В противном случае САР будет статической. Но из (1) следует, что при , а при .

Таким образом, если , то САР будет статической, и установившаяся ошибка будет обратно пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутой САР, сложенному с единицей.

Теоретически ошибку можно приблизить к нулю, устремляя к бесконечности. Это положение реализуется в релейных САР, релейные элементы которых работают в скользящем режиме.

Система будет астатической, если порядок астатизма ПФ разомкнутой системы . Таким образом, в астатической САР всегда должны присутствовать интегрирующие звенья в чистом виде (хотя бы одно) – то есть, не должны компенсироваться дифференцирующими звеньями и не должны быть замкнутыми жесткими ОС.

Обратная связь является жесткой, если , если же , ОС является гибкой.

Если , то говорят, что замкнутая САР является астатической 1-го порядка, если – астатической 2-го порядка и т.д.

Таким образом, порядок астатизма замкнутой САР по управляющему воздействию совпадает с порядком астатизма ПФ разомкнутой САР. Это видно из формулы (1).

Доказательство. Пусть имеется САР, ПФ которой по ошибке равна

.

Пусть к САР приложено управляющее воздействие (рис.4.4) , где – порядок кривой.

Изображение управляющего воздействия по Лапласу (табл.2.1):

.

Вычисляем установившуюся ошибку по (2):

Из последнего выражения следует, что при .

С помощью последней формулы можно определить установившуюся ошибку при любых и . Так, частные случаи сведены в табл.6.1.

Табл.6.1. Установившиеся ошибки

Воздействие	0	1	2	3
Постоянное (n=0)		0	0	0
Линейное (n=1)			0	0
Парабола (n=2)				0

Таким образом, астатическая система 1-го порядка () отрабатывает линейно (n=1) возрастающий сигнал – сигнал, изменяющийся с постоянной скоростью , – с ошибкой, прямо пропорциональной скорости изменения задающего воздействия V, и обратно пропорциональной коэффициенту усиления разомкнутой САР. В установившемся режиме (рис.6.7) регулируемая координата x(t) изменяется также с постоянной скоростью V.

Величина, показывающая отношение скорости изменения регулируемой координаты к ошибке в установившемся режиме, называется добротностью САР по скорости, которая численно равна коэффициенту усиления разомкнутой САР:

.

Аналогичным образом, астатическая система 2-го порядка () отрабатывает параболически (n=2) возрастающий сигнал – сигнал, изменяющийся с постоянным ускорением , – с ошибкой, прямо пропорциональной ускорению a, и обратно пропорциональной коэффициенту усиления разомкнутой САР. В установившемся режиме (рис.6.8) регулируемая координата x(t) изменяется также с постоянным ускорением a.

Величина, показывающая отношение ускорения регулируемой координаты к ошибке в установившемся режиме, называется добротностью САР по ускорению, которая численно равна коэффициенту усиления разомкнутой САР:

.

Термин добротность системы по скорости применяется к астатическим системам 1-го порядка, а термин добротность системы по ускорению – к астатическим системам второго порядка.

В обоих случаях, чем выше добротность q, тем меньше установившаяся ошибка , и тем точнее отработка системой управляющего воздействия.

Системы стабилизации

Выше уже отмечалось, что для систем стабилизации, помимо астатизма по управлению (как и в системах точного воспроизведения), важным является решение вопроса астатизма САР по возмущающему воздействию. Если возмущающее воздействие влияет на регулируемую координату в установившемся режиме, САР считается статической по возмущению, в противном случае – астатической.

Структурная схема системы стабилизации представлена на рис.6.9.

Для определения влияния возмущения необходимо сначала найти ПФ САР от возмущения к выходу. Приравниваем g(s)=0 и, считая цепь со звеньями и отрицательной ОС по отношению к возмущению, находим:

,

где – ПФ цепи ОС по отношению к возмущающему воздействию.

Представим ПФ в знаменателе последнего выражения в виде:

,

где – порядок астатизма ПФ ОУ;

– порядок астатизма ПФ цепи ОС по отношению к возмущающему воздействию;

, – соответствующие нормированные ПФ.

Тогда искомая ПФ

.

Для исключения влияния возмущения на регулируемую координату (то есть, для обеспечения астатизма САР по возмущению) необходимо, чтобы . Из последнего выражения следует, что для этого необходимо, чтобы .

Астатизм САР по возмущающему воздействию определяется порядком астатизма цепи ОС по отношению к возмущению и не зависит от порядка астатизма ОУ. Другими словами, если чистые интеграторы отсутствуют в цепи ОС, то система будет статической, независимо от того, есть ли интеграторы в ОУ или нет.

Пример 1. Определить, является ли система (рис.6.10) астатической по управляющему и возмущающему воздействиям?

Решение. Находим ПФ разомкнутой САР:

.

Таким образом, , следовательно, по отношению к управляющему воздействию система астатическая 1-го порядка.

Находим ПФ цепи отрицательной ОС по отношению к возмущению:

.

Таким образом, , следовательно, система является статической по отношению к возмущающему воздействию.

Пример 2. Определить, является ли система (рис.6.11) астатической по управляющему и возмущающему воздействиям?

Решение. Находим ПФ разомкнутой САР:

.

Таким образом, , следовательно, по отношению к управляющему воздействию система астатическая 1-го порядка.

Находим ПФ цепи отрицательной ОС по отношению к возмущению:

.

Таким образом, , следовательно, и по отношению к возмущающему воздействию система является астатической 1-го порядка.

Уравнения и передаточные функции системы

"силовой преобразователь – двигатель"

Принципиальная схема система "преобразователь – двигатель" представлена на рис.6.12а.

Тиристорный преобразователь П предназначен для выпрямления сетевого трехфазного напряжения, на его выходе имеем выпрямленное ЭДС преобразователя E_П, величина которого зависит от значения напряжения управления U_y. Электромагнитные свойства преобразователя характеризуются активным сопротивлением R_П и индуктивностью L_П.

ЭДС, наводимая в обмотке якоря двигателя E_Д направлена встречно с ЭДС преобразователя E_П и пропорциональна частоте вращения вала двигателя. Индуктивность и активное сопротивление цепи якоря двигателя Д

; ,

где , – параметры цепи собственно якоря двигателя; , – параметры обмотки добавочных полюсов; , – параметры компенсационной обмотке.

Электрическая схема замещения электрической части системы "преобразователь – двигатель" представлена на рис.6.12б.

Обозначив

; ,

дифференциальное уравнение электрического равновесия цепи якоря запишем в следующем виде:

.

Соответствующее уравнение в изображениях Лапласа:

.

Обозначим – электромагнитная постоянная времени силовой цепи якоря двигателя, с. Тогда последнее уравнение запишется в виде:

,

откуда

. (1)

ЭДС двигателя пропорциональна частоте вращения вала:

,

или, переходя к изображениям Лапласа,

, (2)

где – конструктивная постоянная, пропорциональная номинальному магнитному потоку двигателя.

Наконец, уравнение механического равновесия

,

где M – электромагнитный момент, развиваемый двигателем; M_C – момент статического сопротивления (нагрузки); J – суммарный момент инерции вала двигателя.

Уравнение электромагнитного момента имеет вид:

,

и формально статический момент может быть представлен в аналогичном виде:

,

где – ток статической нагрузки.

С учетом этого уравнение механического равновесия может быть представлено в виде:

.

Переходя к изображениям Лапласа:

,

после преобразований получим:

.

Вводя понятие электромеханической постоянной времени , последнее уравнение представим в окончательном виде:

. (3)

Уравнениям (1) – (3) соответствует структурная схема, представленная на рис.6.13.

Анализируя структурную схему (рис.6.13), можно увидеть, что данная система астатическая по отношению к управляющему воздействию E_П(s) (поскольку присутствует чистый интегратор в блоке (3)), и в то же время статическая по отношению к возмущающему воздействию I_C(s) (в блоках (1) и (2) отсутствуют интеграторы). Таким образом, при изменении нагрузки I_C на валу двигателя будет изменяться и скорость (s).

ПФ по управляющему воздействию:

.

В установившемся режиме

, и .

ПФ по возмущающему воздействию:

.

Установившаяся ошибка:

.

Т.е., при подаче какого-то управляющего воздействия (рис.6.14) двигатель каким-то образом (показано пунктирной линией) разгонится до скорости . После скачкообразного приложения возмущающего воздействия (наброса нагрузки) будет иметь место ошибка регулирования, которая после затухания переходного процесса будет равна .

Сравнивая ПФ и , видим, что знаменатели, т.е., характеристические полиномы двигателя, остаются одинаковыми вне зависимости от того, что является входом, и что – выходом.

Этот вывод можно распространить на любую замкнутую САР: характеристический полином не зависит от того, на основании какой ПФ он записан.

Для определения характера переходного процесса при подаче управляющего воздействия рассмотрим детальней ПФ :

.

Таким образом, если , будем иметь колебательное звено, если же , то данная ПФ является ПФ двух последовательно соединенных апериодических звеньев.

Например, при и переходный процесс по току и скорости качественно будет иметь вид, показанный на рис.6.15. Отметим, что точки экстремума кривой (t) совпадают по времени с нулевыми значениями I(t), поскольку ток, согласно (3), является производной от скорости.