Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

лекции / Лекция1 / Лекция 10

.doc
Скачиваний:
51
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
68.61 Кб
Скачать

Лекция № 10

ПРИНЦИП МАКСИМУМА

В ряде практических задач оптимизации объектов управления экстремум функционала (3.91) при заданных уравнениях объекта (3.92) обеспечивается при управлении u(t), имеющем разрывы первого рода. При этом координаты также имеют разрывы, положение и число которых заранее неизвестны. Эти обстоятельства затрудняют применение классического вариационного исчисления для некоторых задач оптимизации, которые могут быть решены методом, разработанным акад. Л.С.Понтрягин и названным принципом, максимума.

Задачай оптимизации является определение оптимальных управлений u°(t) и траектории Х°(t) из условия минимума функционала (3.91) для заданных уравнений объекта (3.92) при начальных X(t0) и конечных X(tк) значениях, заданном интервале времени t0 ttк с учетом ограничений вида X(t)  x, u(t)  u .

Функции управления u(t) допускают разрывы первого рода (см. кривую 1 на рис. 3.6). Так как координаты выхода xi(t) не являются гладкими, то канонические уравнения (3.78) и (3.80) при введенных множителях Лагранжа (3.76) и функции Гамильтона (3.77) не могут быть непосредственно применены для определения оптимальных управлений. Объясняется это тем, что из-за разрывов первого рода вариация функции u(t) может быть большой, следовательно, большой будет и вариация функционала. В результате этого в выражении (3.56) уже нельзя ограничиваться только линейными относительно вариаций функций u(t) и х(t) членами, а следует учитывать также нелинейные члены. В связи с этим было введено понятие игольчатой вариации [12].

Игольчатая вариация представляет собой приращение варьируемой функции оптимального управления u°(t) на бесконечно малом отрезке времени в виде импульса ограниченной величины (см. кривую 4 на рис. 3.6) с учетом u(t)  u. Влияние такой вариации на последующее движение объекта управления в интервале < t < tк бесконечно мало, поскольку влияние любого импульса оценивается величиной его площади (uu°) е, которая в данном случае бесконечно мала. Следовательно, приращение функционала при игольчатой вариации управления будет бесконечно малым. Оно обращается в нуль, т. е. выполняется условие экстремума (3.58) функционала (3.54), когда игольчатая вариация производится относительно оптимального управления u°(t).

Основные уравнения и их применение для синтеза оптимальных систем. Рассмотрим кратко сущность принципа максимума. Пусть математическая модель объекта оптимизации задана в виде уравнений состояния

, (3.113)

где i = 1, 2, ..., n; r – количество координат управления. Уравнение (3.113) можно представить в векторной форме

. (3.114)

Сигналы управления могут иметь ограничения для всех координат

.

Зададимся некоторой функцией f0(Х, u) и будем считать, что цель управления объектом будет достигнута, если изображающая точка из начального положения Х0 с координатами (х10, х20, ..., хn0) в n-мерном фазовом пространстве переместится в положение Х1 с координатами (x11, x21, …, xn1).

При оптимизации объекта требуется найти вектор управляющего воздействия u(t) с учетом указанных ограничений из условия минимума функционала

. (3.115)

Сначала рассмотрим задачу при одной координате управления (r=1) в пространстве (n+1) координат, введя дополнительную переменную х0, определяемую уравнением

. (3.116)

При этом для вывода принципа максимума используем игольчатую вариацию.

Если управляющему воздействию u°(t) соответствует оптимальное движение объекта Х°(t), то после игольчатой вариации дальнейшее движение X(t) будет отличаться от оптимального. Разность между ними в момент t= , определяется разностью скоростей

. (3.117)

Эта разность бесконечно мала, так как – бесконечно малая величина. Поэтому для интервала tT введем вектор вариации траектории

.

Закон изменения вариации, являющейся бесконечно малой величиной, может быть найден из уравнений, записанных для малых изменений X(t), которые называют уравнениями в вариациях. Эти уравнения можно получить из (3.113) или (3.114), если заменить xi на xi + хi а затем после разложения fi в ряд по степеням xi отбросить члены высших порядков малости. Далее вычтем уравнение вида (3.113) и получим линейное уравнение в вариациях

, (3.118)

где j = 0, 1, 2..., n.

Вектор вариаций X при t = Т характеризует изменение критерия оптимальности J. Для любых неоптимальных управлений u(t) эта величина определяется скалярным произведением вектора вариаций X(T) и вспомогательного вектора (Т) и является отрицательной:

. (3.119)

Уравнение (3.119) позволяет найти X(T) в зависимости от начального условия X(), определяемого значением u().

Если подобрать такой (n+1)-мерный вектор (t), который при  < tT удовлетворяет условию

, (3.120)

где (t) = [0(t) 1(t) … n(t)]T,

то вместо принятой в классическом вариационном исчислении функции Гамильтона (3.77) можно составить функцию Гамильтона для неклассических вариационных задач:

. (3.121)

Эта функция достигает максимума при оптимальном управлении u°(t), откуда следует принцип максимума: нужно так подобрать u(t)  u, чтобы величина Н* достигала максимального значения. При этом можно записать (для открытого множества u)

Н*/u = 0. (3.122)

Используя выражение (3.121) и уравнения объекта управления (3.113) с учетом (3.116), можно составить аналогично уравнениям (3.81) канонические уравнения Гамильтона для неклассических вариационных задач:

, (3.123)

где i = 0, 1, 2, ..., n.

Уравнения (3.123) при r координатах управления дополняются уравнениями

. (3.124)

Пусть существует допустимое управление u(t)  u, то соответствующая ему фазовая траектория проходит через фиксированные начальную X(t0) и конечную X(Т) точки. Тогда u°(t) определяется по теореме Л. С. Понтрягина [12]:

для того чтобы управление u(t) было оптимальным, необходимо существование такой ненулевой вектор-функции (t), соответствующей в силу уравнений (3.123) функциям u(t) и X(t), чтобы:

1) при t0tТ функция H* достигла максимума при u°(t)

; (3.125)

2) в конечный момент времени t = Т выполнялись бы соотношения

. (3.126)

В большинстве случаев в (3.126) можно принять 0(Т) = – 1.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Лекция1