47.Одновимірний гармонічний осцилятор.

Одновимірним називають рух системи з одним степенем вільності. Розглянемо систему точок зі стаціонарними потенціальною силою та ідеальними зв’язками. Для неї виконується закон збереження повної механічної енергії: E=T(q,)+U(q)=const, де q є значенням кінет.енергії, тому можна провести аналіз по графіку зі значеннями E, q. Маємо криву. Вона матиме одну потенційну яму, і потенційний бар’єр. Точки переходу з ями до бар’єру наз. точками зупинки. В цих точках потенційна енергія =повній механічній, а кінетична =0. Цим точкам відповідає певне значення кін.енергії q₁, q₂ ,q₃. Рух на відрізку (q₁, q₂) є обмеженим, так як знаходиться в ямі, і наз.фінітним. Одновимірний фінітний рух є коливальним. Кінетична енергія завжди додаткова величина E- U(q)≥0.

Одновим.рух сис.мат.т. забезпечується зв’язками.Н-д, мат. і фізичні маятники, поворот твердого тіла навколо нерухомої осі. Але одновим. може бути і рух вільної матеріальної точки,н-д,прямолінійний рух.

Осциллятор - це система, що здійснює коливання. Якщо система здійснює прості гармонічні коливання з циклічною частотою W₀ , амплітудою А, α- початкова фаза з рівнянням X=Asin(w₀t+α), то ми маємо гармонічний осциллятор.

А та α є визначаються початковими умовами руху.

В класичній фізиці функція Гамільтона для одновимірного гармонічного осцилятора має вигляд: H=

де p_x- імпульс частинки, μ- її маса, x- відхилення від положення рівноваги, а ω₀- власна циклічна частота осцилятора. Необхідно відзначити, що гармонічний осцилятор є до деякої міри ідеалізацією, оскільки значення потенціальної енергії U(x)=

означає, що по мірі віддалення від положення рівноваги сила необмежено зростає. У всіх реальних випадках, починаючи з деяких значень амплітуди, починаються помітні відхилення від гармонічності, а при дуже великих відхиленнях - сила взаємодії прямує до нуля, а U - до постійної величини. Проте для невеликих амплітуд коливань цілком доречно користуватися поняттям гармонічного осцилятора

48. Коливання системи з багатьма ступенями вільності

Нехай q₁ і q₂ узагальнені координати системи, причому що q₁=0 і q₂=0 відповідають положенню стійкої рівноваги. Тоді для потенціальної енергії системи U(q₁,q₂), будемо мати наступну умову: U(0,0)=0, ( )₀=0, ( )₀=0. Розкладамо потенціальну енергію в ряд: U(q₁,q₂)= U(0,0)+ ( )₀ q₁ +( )₀ q₂++… Введемо позначення:, , . Тоді наближена потенціальна енергія дорівнює: U(q₁,q₂)=. Для кінетичної енергії системи одержимо однорідну квадратичну форму: T=(m_1,1m_1,2+m_2,2

Система двох лінійних диф. Рівнянь 2-го порядку з постійними коефіцієнтами, описує малі вільні коливання механічної системи з двома ст. вільності:

Знайдемо розвязання системи у вигляді комплексних функцій: q₁=A₁ q₂=A₂, По фізичному смислу число являється власною частотою системи і рівне числу степенів вільностей системи.

49. Нормальні координати

Розглядаючи коливання системи з двома степенями вільності, було встановлено, що кожна узагальнена координата випробовує два гармонійні коливання з різними частотами, тобото здійснює негармонійне коливання. Величини , можуть бути прийняті за нові узагальнені координати системи. Для цього необхідно установити формули їх зв’язку зі старими координатами q. Підставляючи цю величину у кінематичне рівняння коливання, отримаємо формули переходу від одних координат до інших: . Потрібно цю систему розвязати відноно . В нових координатах рівняння коливання для кожного степеня вільності є незалежними і гармонійними. Такі координати називаються нормальними або головними. В нормальних координатах система зводиться до набору гармонійних осцилляторів, кожний з яких визначається рівнянням +.

Відповідно кінематична і потенційна енергії в цих координатах приймають такий вигляд: , , де – коефіцієнт інерції, а - коефіцієнт квазіупружних сил, причому .