- •Математическое описание сау и их характеристики
- •Математические модели сау.
- •Передаточные функции сау.
- •Динамические характеристики сау.
- •Временные характеристики сау.
- •Изображение по Лапласу единичного ступенчатого воздействия
- •Частотные характеристики сау.
- •Логарифмические частотные характеристики сау.
-
Частотные характеристики сау.
Пусть входное воздействие g(t) представляет собой гармоническую функцию вида
Использовав формулу Эйлера, можно записать
.
Тогда входное воздействие можно представить в виде суммы двух воздействий
(1.30)
Дифференциальное уравнение системы в изображениях по Лапласу запишется в виде
(1.31)
где полином A(s) имеет порядок n, а полином B(s)-порядок m .
Пусть на вход системы подано воздействие вида g1(t). Частное решение дифференциального уравнения будем искать в виде
Здесь W(j) - некоторая функция частоты .
Подставив g1(t) и x1(t) в (1.31), сократив полученное выражение на Gm/2 и e-jt, получим
Отсюда
(1.32)
Сравнивая (1.32) и (1.29), можно заключить, что функция W(j) получается из передаточной функции W(s) простой заменой s=j. Эта замена с математической точки зрения означает переход от преобразования Лапласа к преобразованию Фурье [1,13] .
Функция W(j) называется частотной передаточной функцией системы. Комплексную функцию W(j) представим в виде
(1.33)
Тогда
Если в (1.31) подставить функцию то после преобразований аналогичных предыдущим, получим
В соответствии с принципом суперпозиции
(1.34)
Это выражение показывает, что вынужденные колебания, вызываемые в устойчивой линейной динамической системе гармоническим входным воздействием, представляют собой гармоническую функцию времени, имеющую ту же частоту, что и входное воздействие, но отличающуюся от последнего по амплитуде и по фазе.
Зависимость отношения А() амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала от частоты называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) системы.
Зависимость фазового сдвига () между входным и выходным сигналами от частоты называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) системы.
С этой точки зрения частотную передаточную функцию W(j) называют также амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) системы.
Методика определения частотных характеристик системы следующая.
1).В передаточной функции системы делают замену s=j и полученную АФЧХ представляют в виде суммы вещественной и мнимой частей.
Функцию U() называют вещественной частотной характеристикой, а функцию V()- мнимой частотной характеристикой.
2). Определяют АЧХ и ФЧХ.
(1.35)
(1.36)
Пример. Определить частотные характеристики для звена с передаточной функцией
Делаем замену s=j.
Отсюда
V() = () A() ()
k 0 1/T
U() 4
450 -450
A()
900
Рис. 1.8. Частотные характеристики звена с передаточной функцией
Частотные характеристики широко используются при анализе и синтезе САУ и составляют основу рассматриваемой классической теории автоматического управления.