6.4. Формирование сигнала с заданной спектральной плотностью.

В ряде случаев теоретического и экспериментального исследования установившихся случайных процессов оказывается целесообразным свести приложенные к системе воздействия к одному и тому же типовому воздействию, в качестве которого выбирается белый шум.

Естественно, что при этом схема исследования должна быть преобразована таким образом, чтобы реализуемый ею установившийся случайный процесс имел бы такие же значения характеристик (корреляционной функции,спектральной плотности и математического ожидания), которые совпадали бы с их реальными значениями. Преобразование это может быть осуществлено с помощью стационарного формирующего устройства, параметры которого должны выбираться так, чтобы образующийся на выходе его установившийся случайный процесс под влиянием приложенного ко входу белого шума обладал бы характеристиками реального входного воздействия. Схемы, поясняющие описанное преобразование показаны на рисунках 6.4a и 6.4b.

Ф(s) Ф(s)

белый шум

Рис.6.4a. Случайный сигнал Рис.4b. Белый шум на входе

на входе системы формирующего фильтра

Так как спектральная плотность является четной дробно-рациональной функцией частоты, то она может быть представлена в виде двух комплексно-сопряженных сомножителей

(6.23)

Потребуем, чтобы спектральная плотность реального случайного сигнала была равна

(6.24)

Из (6.23) и (6.24) находится амплитудно-фазовая частотная характеристика формирующего фильтра

(6.25)

Отметим, что установившиеся случайные процессы в реальной системе и в системе с формирующим устройством эквивалентны друг другу лишь по своим первым и вторым моментам и могут значительно различаться по моментам более высоких порядков. Однако, если воздействие в реальной системе и процесс на выходе формирующего устройства являются нормальными случайными функциями, то они полностью cоответствуют друг другу.

6.5.Синтез оптимальных передаточных функций сау при случайных воздействиях.

Выше было показано,что если на входе системы помимо управляющего есть и возмущающее воздействие (помеха), то ошибка такой системы состоит из двух составляющих. Часто оказывается, что стремление уменьшить одну составляющую приводит к увеличению второй и наоборот. Задача синтеза и состоит в том, чтобы обеспечить минимально возможную сумму обеих составляющих.

Возможны несколько способов решения задачи синтеза. Первый и наиболее простой применим, если уже известна структура системы. В этом случае необходимо, используя выше приведенные выражения определить СКО как функцию варьируемых параметров системы и обычным методом определить их значения, дающие минимум ошибки. Еще один способ применим когда полезный сигнал имеет более низкочастотный спектр, чем помеха (рис.5).

Рис.6.5. АЧХ системы спектральные плотности полезного сигнала

и помехи

В этом случае полоса пропускания системы должна быть выбрана достаточно широкой для обеспечения необходимой точности воспроизведения полезного сигнала, но такой ширины, чтобы полностью отфильтровать помехи.

В наиболее общем случае, когда спектры полезного сигнала и помехи накладываются друг на друга систему строят так, чтобы ее частотная характеристика максимально приближалась к спектральной характеристике полезного сигнала.

Рассмотрим методику определения оптимальной передаточной функции по критерию минимума СКО, когда структура системы неизвестна, а известна только передаточная функция неизменяемой части.

При определении оптимальной частотной характеристики замкнутой САУ по критерию минимума СКО между идеальным сигналоми оптимальным сигналом, предположим, что:

1) идеальная частотная характеристика или идеальная функция весаизвестны;

2) полезный сигнал и помехаявляются стационарными эргодическими случайными процессами с нулевым математическим ожиданием и их корреляционные функции и спектральные плотности известны;

3) на время переходного процесса ограничения не накладываются, т.е. решение ищется в классе систем с “ бесконечной памятью”.

Схема постановки задачи приведена на рисунке 6. 6.

Ф_ид(s)

k_ид(t)

Ф(s)

k(t)

-



x(t)

Рис.6.6. Cхема синтеза оптимальной САУ

Необходимое условие, которому должна удовлетворять оптимальная импульсная переходная функция получена Н.Винером в виде интегрального уравнения

(6.26)

при

Корреляционная функция суммарного сигнала на входе определяется выражением

Условие отражает принцип физической осуществимости системы. Если полезный сигнал и помеха некоррелированы, то

Уравнение (26) можно преобразовать к виду

, (6.27) где некоторая функция, равная нулю приЭто условие приводит к тому, что функциясвязанная спреобразованием Фурье, не будет содержать полюсов в верхней полуплоскости плоскостиПреобразование Фурье дает возможность перейти к спектральным плотностям.

(6.28)

Предположим, что спектральная плотность входного сигнала имеет дробно-рациональный вид и может быть представлена в виде

(6.29)

Здесь имеет все нули и полюсы в верхней полуплоскости, а-в нижней полуплоскости плоскостиРазделим (6.28) наи получим

(6.30)

Дробь в левой части выражения (6.30) можно преобразовать к виду суммы

причем имеет все нули и полюсы только в верхней полуплоскости, а-только в нижней полуплоскости плоскости. С учетом этого выражение (6.30) преобразуем к виду

Последнее выражение справедливо для всей плоскости . Однако, поскольку необходимо выполнение условия физической реализуемости то решение ищется только в верхней полуплоскости и указанное выражение принимает вид

Отсюда для амплитудно-фазовой характеристики замкнутой САУ получим

(6.31)

Передаточная функция замкнутой САУ По этой передаточной функции определяется передаточная функция разомкнутой системы, а затем, с учетом известной передаточной функции неизменяемой части, находится передаточная функция корректирующего устройства.

Пример.

Полезный сигнал и помеха заданы своими корреляционными функциями:

;

Полезный сигнал и помеха не коррелированы. Идеальная передаточная функция ,т.е. должна быть решена задача оптимальной фильтрации.