Типовые линейные динамические звенья.

Классификация звеньев.Замкнутые автоматические системы часто содержат в своем составе сложные динамические звенья, описываемые дифференциальными уравнениями высокого порядка. Для облегчения математического исследования таких систем сложные звенья в их составе разбивают на более простые, элементарные звенья, описывае­мые уравнениями не выше второго порядка:

где и соответственно имеющие передаточные функции вида:

где

Такие звенья называют типовыми. В приведенных выше уравнениях некоторые ко­эффициенты могут быть равны нулю. При обращении в нуль тех или иных коэффициентов будет изменяться вид уравнения и передаточной функции, что отражает изменение динамических свойств звеньев. В со­ответствии с этим звенья автоматических систем классифицируются по виду их дифференциальных уравнений или, что то же самое, по виду их передаточных функций. Так, все устройства, описываемые одина­ковыми дифференциальными уравнениями и соответственно имеющие одинаковые передаточные функции, относятся независимо от их назна­чения, конструкции, принципа действия и т. д. к одной и той же клас­сификационной группе динамических звеньев.

Различают следующие элементарные динамические звенья: пози­ционные,дифференцирующиеиинтегрирующие. К позиционным звень­ям относятся:пропорциональное (безынерционное) звено, апериодическое звено первого по­рядка, апериодическое звено второго порядка и колебательное звено. Диф­ференцирующие звенья:идеальное дифференцирующее, инерционное дифференцирующее, форсирующее. Интегрирующие звенья:идеальное интегрирующее, инерционное интегрирующее, изодромное.

Пропорциональное звено. Звено, выходная величина которого пропорциональна входной величине в каждый момент времени, называют пропорциональным. Из чего следует, что длительность переходных процессов в таком звене равна нулю, т. е. переходные процессы отсутству­ют, а полоса пропускания звена бесконечно велика.

Практически к числу пропорциональных звеньев относят любое устройство, полоса пропускания которого значительно превышает ширину спектра входного воздействия этого устройства. Свойствами пропорционального звена обычно обладают такие элементы автоматиче­ских систем, как дискриминаторы, широкополосные усилители и т. п.

Получаем передаточную функцию, частотные и временные характеристики пропорционального звена: W(p) = k = const;A(ω) = k,ψ(ω )= 0, q(t) = k1(t), w(t) = kδ(t).

Как следует из приведенных выражений, амплитудно-фазовая характеристика пропорционального звена вырождается в точку, лежащую на оси вещественных значений на расстоянии k от начала координат. АЧХ пропорционального звена есть бесконечная прямая, параллельная оси частот, что характеризует бесконечную ширину полосы пропускания. Переходная характеристика и ЛАХ этого звена приведены в табл. 1 (безынерционное звено).

Интегрирующие звенья.Идеальным интегрирующим звеном называют звено, выходная величина которого пропорциональна интегра­лу от входной величины, т. е.

где k– коэффициент пропорциональности, имеющий размерность [1/с].

Продифференцировав это выражение, получим дифференциальное уравнение интегрирующего звена:

Найдем выражения для передаточной, весовой, переходной и амплитудной характеристик:

(),

Переходная характеристика и ЛАХ звена приведены в табл. 1.

В автоматических системах часто используется параллельное сое­динение идеального интегрирующего и пропорционального звеньев, на­зываемое изодромным звеном. Передаточная функция изодромного звена:

где k– коэффициент передачи звена, имеющий размерность [1/c]; Т = k₁/k – постоянная времени звена.

Включение изодромных звеньев в состав автомати­ческих систем является одним из важнейших способов повышения показателей качества этих систем.

Из выражения для передаточной функции, получим

(),

Переходная характеристика и ЛАХ звена приведены в табл. 1.

Дифференцирующие звенья.Идеальным дифференцирующим звеном называют звено, выходная величина которого пропорциональна про­изводной входной величины.

Передаточная функция звена:

где k– коэффициент передачи звена, имеющий размерность [с]; p – комплексная частота.

Найдем частотные и временные характеристики звена:

А(ω) = kω, ψ(ω) = π/2 при ω>0,

Переходная характеристика и ЛАХ приведены в табл. 1.

Реальные дифференцирующие устройства не являются идеальными дифференцирующими звеньями, а принадлежат к числу инерционных дифференцирующих звеньев, описываемых дифференциальным урав­нением вида:

где

Отсюда получаем передаточную функцию звена:

Примером инерционного дифференцирующего звена является диффе­ренцирующая RC-цепь (рис. 1.25), для которой

где k=T=RC.

Используя выражение для передаточной функции нетрудно Рис. 9. Дифференцирующая цепь. найти частотные и временный характеристики звена.

В задачах коррекции динамических характеристик автоматических систем важную роль играет форсирующее звено, представляющее со­бой параллельное соединение пропорционального и дифференцирующего звеньев. Передаточная функция форсирующего звена имеет вид:

где

Как и идеальное дифференцирующее звено, форсирующее звено может быть реализовано лишь приближенно. Форсирующее звено входит в состав корректирующих цепей, а также в состав изодромного звена.

Найдем частотные и временные характеристики форсирующего звена:

В частности, переходная характеристика и ЛАХ этого звена приведены в табл. 1.

Апериодическое звено первого порядка.Апериодическим звеном первого порядка называют звено, описываемое дифференциальным уравнением первого порядка:

где Т – постоянная времени звена; ; k – коэффициент переда­чи звена.

К апериодическим звеньям относятся многие элементы радио­электронных систем управления – исполнительные двигатели, уси­лители мощности, магнитные усилители и т. д. Например, аналогичного вида уравнением описываются процессы в RC-фильтре нижних частот:

Апериодические звенья являются наиболее широко распростра­ненными звеньями в составе автоматических систем.

Получим передаточную функцию апериодического звена:

и находим модуль и фазу этого звена:

где – сопрягающая частота апериодического звена.

Получим выражение для логарифмической амплитудной характеристики апериодического звена:

Получим переходную характеристику апериодического звена:

которая, как видно из графика (Табл. 1), имеет апериодический (непериодический, неколебательный) характер, т е. выходная величин апериодического звена при ступенчатом входном воздействии изменяется монотонно, асимптотически приближаясь к своему установившемуся значению. Практическую длительность переходной характеристики определяют величиной t_п = 3T, при этом

Весовая функция апериодического звена:

В составе автоматических систем часто встречается звено, являю­щееся результатом последовательного соединения идеального интегри­рующего и апериодического звеньев и называемое инерционным интег­рирующим звеном.Передаточная функция такого звена имеет вид:

где kиТ— соответственно коэффициент передачи и постоянная вре­мени звена.

Из выражения для передаточной функции, получим

(),

Переходная характеристика и ЛАХ звена приведены в табл. 1.

Звенья второго порядка описываются дифференциальным уравнение второго порядка:

Соответственно передаточная функция звена имеет вид:

Корни характеристического уравнения:

или

где

Выражение для корней характеристического уравнения определяет поведение системе в переходном и установившемся режимах.

При корни характеристического уравнения являются чисто вещественными и отрицательными:

а передаточная функция такого звена имеет вид:

или

что структурно соответствует последовательному соединению двух апериодических звеньев первого порядка. Такое звено называется апериодическим звеном второго порядка.

Найдем выражение для переходной, весовой характеристики и ЛАХ звена:

При звено являетсяколебательным, а корни характеристического уравнения являются комплексно сопряженными:

где

причем для обеспечения устойчивости такого звена.

Передаточная функция звена имеет вид:

Найдем выражения для переходной и весовой характеристик звена:

где

Рис. 10. Переходная и весовая характеристики колебательного звена.

α и β в выражениях для корней характеристического уравнения можно определить из графического представления переходной характеристики:

Запишем все возможные выражения для нахождения коэффициентов:

Построим КЧХ системы для этого преобразуем передаточную характеристику:

где

Построив по этим выражениям КЧХ системы, получим, что она имеет вид кардиоиды, симметричной относительно вещественной оси.

Найдем АЧХ, ФЧХ, ЛАХ системы для этого найдем модуль и аргумент передаточной характеристики:

Асимптотическая ЛАЧХ:

Ошибка асимптотической ЛАЧХ тем больше, чем меньше значение ξ.

Примером колебательного звена может служить резонансный RLC-контур.

Колебательные звенья радиотехнических устройств, обладающие резко выраженными резонансными свойствами, имеют весьма малые значения коэффициента затухания (ξ ~ 10^-2). Колебательные звенья автоматических систем имеют значения коэффициента затухания, близкие к единице (ξ = 0.5; 0.7).

По мере приближения коэффициента затухания к единице колебательный характер переходной характеристики становится все менее выраженным. При этом уменьшается частота затухающих колебаний и уменьшается длительность переходного процесса, которую можно найти по формуле:

Некоторые прочие звенья. Звено, имеющее передаточную функциюназываетсяконсервативным. Для этого звена справедливы предыдущие выражения с учетом того, что ξ=0.

Запаздывающее звеноили линия задержки имеет передаточную характеристику вида:

Найдем все характеристики звена:

Данное звено относится к неминимально-фазовым звеньям, т.к. передаточная функция имеет нули в правой полуплоскости.