лекции / курс лекций по тау

Раскрыв выражения для (подставляя в него ) получим

Знание матрицы Риккати P позволяет наряду с получением коэффициентов вектора ,

также вычислить численное значение минимальной величины интегрального квадратичного критерия качества

. (4.18)

4.5. Нахождение выражения для X(t+т).

Известно, что для объекта без запаздывания уравнение описывающее движение компонент его вектора состояния имеет вид:

. (4.19)

Первая часть выражения является свободной составляющей, которая зависит от динамических свойств объекта управления (матрицы A) и от вектора начальных условий

. (4.20)

Из выражения (4.20) получим упрежденный сигнал вектора состояния

Выделим , и разобьем интеграл на две части

Вынесем за скобки

Заменив выражение в квадратных скобках на X(t) получим формулу для упрежденного вектора

состояния

, (4.31)

(4.32)

Полученный оптимальный закон управления содержит пропорциональную и интегральную составляющие (т.е ПИ- регулятор) и две функциональныe составляющие,

соответствующие апериодическому и интегрирующему звеньям модифицированного объекта управления с запаздыванием.

4.7. Реализация оптимального регулятора.

Реализация оптимального закона управления (4.29) затрудняется наличием функциональных составляющих в его структуре. С целью упрощения реализации полученного

закона найдем его изображение по Лапласу от всех составляющих

(4.33)

где L[] - символ преобразования по Лапласу.

Для нахождения изображений по Лапласу функциональных составляющих воспользуемся формулой свертки, согласно которой свертыванию оригиналов во временной

области соответствует произведение их изображений

В раскрытом виде формула свертки (4.34) записывается в виде

. (4.35)

Сравнивая первый интеграл в выражении для оптимального закона управления (4.33) с интегралом в выражении (4.35) получим

(4.36)

Однако, в интеграле свертки и интегралах для функциональных составляющих закона (4.29) не совпадают верхние пределы интегрирования, поэтому прямо воспользоваться формулой свертки нельзя. Очевидно, что интеграл свертки необходимо привести к виду, обеспечивающему равенство

. (4.37)

Рис. 4.3.

Это можно достичь, если одну из функций в исходном интеграле искусственно сделать

Тогда L - изображений от первой функциональной составляющей можно записать в виде

.

. (4.38)

Аналогично найдем L-изображение для второй функциональной составляющей в

выражении для оптимального закона управления

. (4.39)

Исходя из полученных результатов, оптимальный закон управления примет вид(4.40)

Знание операторной формы записи оптимального закона позволяет разработать структурную схему оптимального астатического регулятора для объекта первого порядка с запаздыванием (Рис.4.4).

Рис.4.4. Структурная схема оптимальной системы управления.

Связь, обозначенная пунктиром, соответствует точному, теоретическому алгоритму управления (4.40). Однако на практике в объекте управления трудно выделить этот сигнал, поэтому его моделируют в регуляторе с помощью звена с чистым запаздыванием.

Как видно из структурной схемы, оптимальный регулятор для объекта первого порядка с запаздыванием состоит из типового ПИ-регулятора и корректирующего устройства, в структуре которого содержится модель объекта управления.

Данный регулятор особенно эффективен для управления объектами, в которых отношение /Т>0,5. На рис.4.5 приведены графики отработки единичного возмущающего воздействия в оптимальной системе управления объектом первого порядка.

Рис. 4.5. Переходный процесс в системе с оптимальным регулятором.

По аналогичной методике может быть получена структура оптимального регулятора для объекта второго порядка с запаздыванием. В этом случае оптимальный регулятор состоит из типового ПИД-регулятора и корректирующего устройства, в структуре которого содержится два инерционных звена и одно интегрирующее.

(5.5)

Таким образом необходимо решить две задачи:

1). Вычислить вектор обратных связей для объекта без запаздывания.

2). Сформировать упрежденный вектор состояния .

1). Вычисления вектора.

Для вычисления вектора запишем уравнение замкнутой системы без

где матица замкнутой системы равна

. (5.8)

Это уравнение распадается на систему трех линейных алгебраических уравнений,

получаемых путем сравнения коэффициентов при соответствующих степенях переменной .

Решая систему трех уравнений определим коэффициенты вектора обратных связей

При выборе величины следует иметь в виду, что при уменьшении его значения, быстродействие системы возрастает, но возрастает и амплитуда управляющего сигнала.

Тогда модальный закон управления с упредителем примет вид

(5.10)

Раскрывая выражение (5.10) получим формулы для вычисления упрежденных сигналов

где По полученным формулам работает блок упреждения, введенный в структуру модальной

цифровой системы регулирования, показанной на рис 5.1.

В этой системе введен элемент сравнения, формирующий сигнал ошибки

Рис. 5.1. Структура цифровой системы управления с упредителем.

Пример расчета.

Пусть передаточная функция объекта имеет вид

Часто для упрощения расчетов выбирают величину периода квантования, кратную

двумерным. Примем с, тогда в цифровой модели объекта (5.2) величина . Для

получения максимального быстродействия в замкнутой системе зададимся величиной кратного

Рис. 5.2. Структурная схема цифровой системы управления.