2. Линейная зависимость и линейная независимость элементов линейного пространства.

Пусть даны элементов линейного пространства над полем : и чисел . Элемент называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами . Можно построить линейные комбинации любого числа элементов.

Определение. Элементы называются линейно зависимыми, если существуют такие не все равные нулю числа , что

(). (1)

Элементы называются линейно независимыми, если равенство (1) возможно только при ().

Утверждение 2. Элементы линейно зависимы в том и только в том случае, если один их них является линейной комбинацией остальных. (Докажите самостоятельно.)

Утверждение 3. Если среди элементов некоторые элементов () линейно зависимы, то и вся система элементов линейно зависима. ( Докажите самостоятельно.)

Утверждение 4. Если среди элементов имеется хотя бы один нулевой элемент, то вся система элементов линейно зависима. ( Докажите самостоятельно.)

Теорема 1. Элементы линейно зависимы в том и только в том случае, если либо , либо некоторый элемент () линейно выражается через предшествующие .

Доказательство.

Необходимость. Пусть линейно зависимы, т.е. в равенстве (1) не все коэффициенты равны нулю. Пусть – последний из отличных от нуля коэффициентов. Если , то из (1) следует, что . Если , то (1) имеет вид , . Тогда .

Достаточность следует из утверждений 2, 3, 4.

Теорема 2. Пусть элементы линейно независимы, и пусть каждый из них линейно выражается через элементы . Тогда .

Доказательство. По условию линейно выражается через . Значит, система элементов линейно зависима. , иначе бы система элементов была линейно зависимой ( см. утверждение 4). Поэтому по теореме 1 некоторый элемент () линейно выражается через элементы . Выбросим элемент . Тогда каждый из элементов линейно выражается через ; в частности, линейно выражается через эти элементы. То есть, система

(2)

линейно зависима. , иначе бы система элементов была линейно зависимой. Поэтому по теореме 1 один из остальных элементов системы (2) линейно выражается через предшествующие. не может линейно выражаться через , иначе бы система была линейно зависимой (см. утверждение 3). Значит, некоторый элемент из (2) линейно выражается через предшествующие элементы системы (2). Выбросим элемент . Тогда снова получим систему , в которой нет и , и через которую линейно выражается каждый из элементов . И так далее.

Могут ли элементы быть выброшены раньше, чем к ним будут добавлены все элементы ? – Нет: иначе оказалось бы, что каждый элемент системы линейно выражается через часть этой же системы, т.е. были бы линейно зависимы. Итак, .

3. Линейные оболочки. Размерность. Базис. Координаты.

Зафиксируем элементы и позволим коэффициентам их линейных комбинаций принимать любые значения из . Множество всех таких линейных комбинаций называется линейной оболочкой элементов ; будем обозначать это множество . Линейная оболочка – это множество всех элементов пространства , которые можно линейно выразить через . Очевидно, что и что линейная оболочка сама является линейным пространством.

Теорема 3. Пусть элементы линейно независимы, и пусть элементы линейно независимы. Если , то .

Доказательство. По теореме 2 . Если же в теореме 2 поменять ролями системы элементов и , то .

Заметим теперь, что для любого линейного пространства имеет место одна из следующих двух альтернативных возможностей.

1. Для каждого натурального числа в найдется линейно независимых элементов. Такое пространство называется бесконечномерным. В примерах 4, 5, 9, 10 рассматривались бесконечномерные пространства (для каждого найдите в этих примерах линейно независимых элементов).

2. Для некоторого натурального в найдется линейно независимых элементов, но всякая система, состоящая из большего числа элементов, является линейно зависимой. Такое пространство называется конечномерным. Наибольшее число линейно независимых элементов в нем называется размерностью пространства : . В примерах 1, 2, 3, 6, 7, 8, 11 рассматривались конечномерные пространства (найдите размерности этих пространств и укажите в них какие-нибудь линейно независимые системы, состоящие из наибольшего числа элементов).

Теорема 4. Всякое конечномерное линейное пространство является линейной оболочкой конечного числа некоторых своих элементов.

Доказательство. Пусть . Рассмотрим произвольный элемент и некоторую систему , состоящую из наибольшего числа линейно независимых элементов. Тогда система элементов линейно зависима. По теореме 1 линейно выражается через . Это значит, что . В силу произвольности элемента .

Определение. Линейно независимая система элементов, через которые линейно выражается всякий элемент пространства, называется базисом этого пространства.

В линейном пространстве конечной размерности можно построить сколько угодно базисов. По теореме 3 число элементов во всех базисах одинаково; если и – два базиса пространства , то . Мы часто будем обозначать базис одной буквой: .

Если – базис линейного пространства над полем , то по теореме 4 для любого имеем равенство , где все для данного базиса определяются элементом . Это равенство называется разложением элемента по базису ; числа называются координатами элемента в базисе . Таким образом, разложение элемента по базису ставит в соответствие этому элементу элемент линейного пространства : .

Теорема 5. Пусть – конечномерное линейное пространство. Для любого его разложение по базису единственно.

Доказательство. Пусть и – базис пространства . Предположим, что элемент имеет два разложения по базису : и . Тогда . В силу линейной независимости элементов базиса получаем .

Доказанная теорема означает, что рассмотренное выше соответствие однозначно. Оно позволяет свести операции над абстрактными элементами линейного пространства к арифметическим операциям над числами. Если , то для любого числа ; если , то . Иными словами, соответствие обладает следующими свойствами:

если ,

то ;

если ,

то .

Математическое понятие линейного пространства позволяет задавать объекты различной природы при помощи координат. Каждый базис – это система координат. В фиксированной системе координат линейные операции над элементами пространства сводятся к соответствующим операциям над их координатами.