1. Метод ломаной Эйлера

Дано: y'( x ) = ¦( x, y(x) )

x Î [ a, b ] (8)

x₀ = a, y( a ) = S

Найти: таблицу приближенных значений y1, y2,...ym решения уравнения (1) в точках сетки :

___

x_i = x₀ + ih, i = 1,m

Рис. 20

y'( a ) = tg j₀ = ¦( a,S ) (рис 20)

y₁ = S + h tg j₀ ;

y₁'= tg j₁ = ¦( x₁, y₁ ) ;

y₂'= y₁ + h tg j₁ и т.д.

y_i = tg j_i

y_i+1 = y_i + h ¦(x_i,y_i)

49

т.о. в методе Эйлера величины yi = y(xi) вычисляются по формуле

y_i+1 = y_i + h ¦( x_i, yi )

при условии, что

y₀ = y( x₀ ) a = x₀ < x₁ < ... < x_m = b

Эту формулу можно получить из следующих рассуждений.

Разложим yi+1 = y(xi + h) ряд Тейлора в окрестности точки x_i:

y_i+1 = y( x_i + h ) = y( x_i ) + h y' ( x_i ) + h² y''( x_i ) + ... ,

но

y'( x_i ) = ¦( x_i, y( x_i) )

поэтому

y_i+1 = y( x_i ) + h ¦( x_i, y( x_i ) ) + h² ¦'( x_i, y( x_i ) ) +...

Этот метод допускает простую геометрическую интерпретацию.

Погрешность данного метода равна Q(h²) - это место первого порядка. Основной недостаток метода - накопление ошибок. Блок-схема представлена на рис. 21 .

Основные обозначения:

М - число точек сетки, N - порядок системы, X - начальное значение (x₀), Y - массив из N чисел, содержащий начальные значения ,Р - имя внешней подпрограммы, вычисляющей значения правых частей уравнений по заданным X и Y, F - рабочий массив размерностью N, содержащий значения правых частей уравнений, А,В - границы интервала определения X .

Пример: На отрезке [0, 0.03] составить таблицу значений приближенного решения

дифференциального уравнения

y'' = 3y' - 2y + 2x - 3 , (9)

удовлетворяющим начальным условиям

y(0) = 1 y'(0) = 2

выбрав шаг интегрирования h=0.05.

Приведем уравнение (9) к системе вида (7) следующим образом. Обозначим y через y₁ и y' через y₂. Тогда получим систему

у₁' = y₂

y₂' = 3y₂ - 2y₁ + 2x

с начальными условиями y₁(0) = 1, y₂(0) = 2 .

Таким образом, F(1) = Y(2); F(2) = 3*Y(2) - 2*Y(1) + 2*X - 3

50

Рис.21

2 Метод Рунге-Кутта

Одним из самых употребляемых методов численного решения дифференциальных уравнений (систем уравнений) является метод четвертого порядка, называемый "метод Рунге-Кутта"

В этом методе величины yi+1 вычисляются по формуле

y_i+1 = y_i + h F( x_i, y_i, h )

где

F( x_i, y_i, h ) = 1/6 (К_1i + 2K_2i + 2K_3i + K_4i ) ,

К_1i = ¦ ( x_i, y_i ), K_2i = ¦( x_i + h/2, y_i + h К_1i/2 ) ,

51

K_3i = ¦( x_i + h/2, y_i + h К_1i/2 ) ,

K_4i = ¦( x_i + h, y_i + h К_3i)

При оценке погрешности используют правило Рунге: для этого проводят вычисления сначала с шагом h , затем с шагом h/2.

Ecли y_i - приближение, вычисленное с шагом h, а y приближение, вычисленное с шагом h/2, то справедлива оценка:

Блок-схема алгоритма на рис 22

Список рекомендуемой литературы

1 Калиткин Н.Н. Численные методы - М.: Наука, 1978 - 512с

2 Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах:-Учеб. для вузов 2-е изд., пераб. и доп./ Под ред. Петрова.- М.:Высш. шк., 1984 - 320 с.

3 Плис И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей матаматике - М.:Высш. шк., 1983 - 208 с.

4 Сергованцев В.Т., Смирнов С.М. Сборник задач по вычислительной технике в инженерных и экономических расчетах.- М.: Финансы и статистика 1985 - 160 с.

5 Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике.- М.:Наука,1986 - 544 с.

6 Волков Е.А.Численные методы Учеб. для вузов.- М.:Наука 1987 - 248 с.

53

Содержание

Индивидуальное задание 1 .

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса 4

Индивидуальное задание 2 .

Численные методы вычисления определенных интегралов 13

Индивидуальное задание 3 .

Численные методы решения задачи оптимизации 22

Индивидуальное задание 4 .

Обработка экспериментальных данных . Выбор апрокси-

мирующей функции . Определение параметров этой фу-

нкции методом наименьших квадратов 32

Индивидуальное задание 5 .

Численные методы решения задачи Коши для обыкновен-

ных дифференциальных уравнений 42

54