1. ОДЗ.

2. Четность, нечетность.

3. Точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Асимптоты.

5. Точки экстремума. Возрастание и убывание функции.

6. Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость.

7. Построение графика.

Пример.

Проведите полное исследование функции и постройте ее график.

1. ОДЗ.

ОДЗ: .

2. Четность, нечетность.

.

Так как ОДЗ симметрична относительно начала координат и выполняется равенство , то функция нечетная и ее график будет симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

О(0,0) – единственная точка пересечения графика функции с осями координат.

4. Асимптоты.

– вертикальные асимптоты, так как ОДЗ разрывна в этих точках и

– уравнение наклонной асимптоты. Найдем коэффициенты a и b.

Значит – наклонная асимптота.

5. Точки экстремума. Возрастание и убывание.

Найдем критические точки, для этого приравняем нулю первую производную: .

или

– критические точки.

x				-1		0		1
	–	0	+	Ø	+	0	+	Ø	+	0	–
		min		разрыв		0		разрыв		max

.

.

.

6. Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость.

Найдем вторую производную и приравняем ее нулю: .

.

То есть .

Значит – возможные точки перегиба.

x		-1		0		1
	+	Ø	–	0	+	Ø	–
		Ø		Точка перегиба		Ø

7. Посроение графика.

А

О

В

Формула Тейлора для произвольной функции

Рассмотрим функцию . Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.

Теорема. Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней производные до -го порядка включительно, то для любого из этой окрестности найдется точка такая, что справедлива формула (Тейлора)

, .

Эту формулу можно записать в виде , где называется многочленом Тейлора, а называется остаточным членом формулы Тейлора. есть погрешность приближенного равенства . Таким образом, формула Тейлора дет возможность заменить функцию многочленом с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена .

При получаем частный случай формулы Тейлора – формулу Маклорена:

, где , .