Максимум и минимум функции

Определение. -окрестностью точки называется интервал (x₀–δ, x₀+δ), где .

Определение. Точка называется точкой максимума () функции f(x), если существует такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство:

.

Определение. Точка называется точкой минимума () функции f(x), если существует такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности

.

y

min max x₀–δ x₀ x₀+δ x

0 x₁ x₀ x

Определение. Минимум и максимум функции называется экстремумом функции.

Теорема (Необходимые условия экстремума). Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю, то есть .

Замечание. Обратная теорема неверна, то есть если , то это не значит, что – точка экстремума.

Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.

Замечание. Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в критических точках.

Теорема. Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки x₀ и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то x₀ – есть точка максимума; с минуса на плюс, то x₁ – точка минимума.

x		x0		x1
	+	0	–	0	+
		max		min

Пример.

Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции

.

x		1		3
	+	0	–	0	+
		max		min

Точка максимума x = 1, y_max (1)=7/3, А(1,7/3).

Точка минимума x = 3, y_min (3)=1, В(3,1).

На функция возрастает, на убывает.

y

2

1

–1 0 1 3 x

Теорема. Если в точке первая производная функции равна нулю, то есть , а , то при в точке – max, при в точке – min.

Пример. Исследуйте на экстремумы функцию

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

y

наиб max

max

min

min наим

0 a b x

Для различных участков функция имеет различные наибольшие и наименьшие значения.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на :

1. найдите критические точки функции на интервале ,

2. вычислите значения функции в найденных критических точках,

3. вычислите значения функции на концах отрезка, (в точках a и b),

4. среди всех вычисленных значений функции выберите наибольшее и наименьшее.

Пример.

. Найдите наименьшее и наибольшее значения на отрезке .

1) ,

2) ,

.

3) ,

.

4) ,

.