VI.5. Магнитные дипольные и электрические квадрупольные поля
Следующий член в разложении (6.38) приводит к векторному потенциалу
. (6.53)
Это выражение можно представить в виде суммы двух членов, один из которых дает поперечное магнитное поле, а другой – поперечное электрическое. Эти физически различные компоненты можно разделить, записывая подынтегральное выражение в (6.53) в виде суммы симметричной и антисимметричной частей:
.
(6.54)
Вторая антисимметричная часть, очевидно, связана с намагниченностью, обусловленной током:
.
(6.55)
Первый, симметричный член, как будет показано ниже, связан с электрическим квадрупольным моментом.
Рассматривая только магнитный член, получаем
, (6.56)
где
- магнитный дипольный момент
. (6.57)
Переходя к вычислению полей, заметим,
что векторный потенциал (6.56) с точностью
до множителя равен магнитному полю
(6.44) электрического диполя, если
заменить на
.
Поэтому магнитное поле диполя будет
равно электрическому полю электрического
диполя с заменой
.
Таким образом, получаем
.
(6.58)
Теперь легко установить, что электрическое поле имеет вид
,
(6.59)
т.е. равно взятому с обратным знаком
магнитному полю электрического диполя.
Все выводы, относящиеся к поведению
полей в ближней и дальней зонах, остаются
теми же, что и для электрического
дипольного источника, если только
сделать замену
,
,
.
Аналогично распределение излучения и
излучаемая мощность для обоих диполей
одинаковы. Единственное различие полей
излучения связано с их поляризацией.
Для электрического диполя электрический
вектор лежит в плоскости, образованной
векторами
и
,
в то время как для магнитного диполя он
перпендикулярен плоскости, проходящей
через
и
.
Интеграл от симметричного члена в (6.54) после интегрирования по частям и некоторых преобразований приводится к виду
.
(6.60)
Здесь
заменена на
согласно уравнению непрерывности. Так
как этот интеграл содержит второй момент
плотности заряда, то, следовательно, он
соответствует электрическому
квадрупольному источнику. Векторный
потенциал имеет вид
.
(6.61)
Выражения для полей в общем случае довольно сложны, и мы ограничимся рассмотрением полей в волновой зоне. Тогда легко видеть, что
,
,
(6.62)
Таким образом, для магнитного поля получаем
.
(6.63)
Используя определение тензора квадрупольного момента
,
(6.64)
можно записать интеграл (6.63) в виде
.
(6.65)
Заметим, что величина и направление
вектора
зависят как от направления наблюдения,
так и от свойств источника.
В этих обозначениях магнитное поле запишется в виде
,
(6.66)
а средняя мощность, излучаемая в единичный телесный угол – в виде
.
(6.67)
Угловое распределение имеет довольно
сложный характер. Однако мощность
излучения вычисляется непосредственно.
Учитывая определение
,
представим угловую зависимость в виде
.
(6.68)
Вычисление угловых интегралов от
произведений прямоугольных составляющих
дает
.
(6.69)
Откуда
.
(6.70)
Так как сумма элементов тензора
,
стоящих на главной диагонали, равна
нулю, первый член в квадратных скобках
тождественно обращается в нуль. Отсюда
получается окончательное выражение
для полной мощности излучения
квадрупольного источника
.
(6.71)
При заданном квадрупольном моменте излучаемая мощность пропорциональна шестой степени частоты в отличие от дипольного излучения, где она пропорциональна четвертой степени частоты.
Во временной области можно получить следующие выражения для магнитного поля и интенсивностей магнитно-дипольного и квадрупольного излучений:
.
(6.73)
Простым примером квадрупольного
источника является осциллирующее
сфероидальное распределение зарядов.
В этом случае недиагональные элементы
равны нулю, а диагональные элементы
можно представить как
.
При этом угловое распределение излучаемой мощности будет иметь вид
.
Соответствующая диаграмма направленности
имеет максимумы при
и
.
Полная мощность такого квадруполя равна
.