VI.2. Собственные функции скалярного волнового уравнения

Волновые уравнения (6.3), (6.4), (6.7) имеют одинаковую структуру

, (6.20)

где дает распределение источников, а v представляет собой скорость распространения волн в среде.

Для решения уравнения (6.20) полезно найти сначала функцию Грина, удовлетворяющую уравнению

, (6.21)

Решение уравнения (6.20) в неограниченном пространстве без граничных поверхностей выражается через G интегралом

. (6.22)

Нужно также потребовать, чтобы функция Грина удовлетворяла определенным граничным условиям, которые задаются физическими требованиями.

Функция Грина, удовлетворяющая уравнению (6.21), зависит только от разностей координат и времен . Для нахождения G представим обе части уравнения (6.21) в виде интегралов Фурье (П6.1). Дельта-функцию в правой части можно представить следующим образом (П6.2):

. (6.23)

Соответственно запишем функцию Грина в виде

. (6.24)

Функцию легко определить, подставив (6.23) и (6.24) в уравнение (6.21). При этом получаем

. (6.25)

При подстановке в (6.24) и последующим интегрированием по и мы сталкиваемся с особенностью подынтегрального выражения при . Решение (6.25) имеет смысл только в том случае, если мы знаем правила обращения с этой особенностью, которые можно получить только из физических соображений.

Функция Грина, удовлетворяющая волновому уравнению (6.21), представляет собой волновое возмущение, вызванное точечным источником, находящимся в точке и излучающим только в течение бесконечно малого интервала времени при . Мы знаем, что такое возмущение распространяется со скоростью v в виде расходящейся сферической волны. Следовательно, необходимо потребовать, чтобы наше решение для G обладало следующими свойствами:

а) всюду при (условие причинности),

б) G представляет собой расходящуюся волну при .

Интеграл по переменной в формуле (6.8) имеет вид:

. (6.26)

Вычисление этого интеграла может быть произведено с помощью теории вычетов. Подынтегральное выражение в (6.26) регулярно при любых комплексных значениях , за исключением двух полюсов при . Если и , где вещественны, то , причем в нижней полуплоскости комплексного переменного (т.е. при ). Поэтому, если выбрать контур интегрирования в виде отрезка вещественной оси, замыкающего полуокружностью в нижней полуплоскости, то интеграл по этой окружности будет содержать экспоненциально убывающий при множитель и, значит, в пределе обратится в нуль. Аналогичное условие будет выполняться при для контура с замыкающей полуокружностью, проведенной в верхней полуплоскости. Для того, чтобы G удовлетворяло условию причинности а), нужно, чтобы внутри такого верхнего контура особенностей подынтегральной функции не было. Поэтому упомянутые выше полюсы следует сместить на бесконечно малое расстояние вниз от вещественной оси, полагая . Вычисляя интеграл по теореме Коши при , получаем следующий результат:

, (6.27)

где . С помощью (6.24), (6.25) и (6.27), производя интегрирование по углам, получим

. (6.28)

Здесь . Теперь используем четность подынтегральной функции по аргументу k и будем интегрировать от до . Заменяя переменную k на , мы может представить (6.28) в виде:

(6.29)

Здесь использована формула (П6.2) и то обстоятельство, что (). Эта функция Грина называется запаздывающей функцией Грина, что отражает естественную причинную последовательность при распространении волнового возмущения: Эффект, наблюдаемый в точке в момент времени , вызывается возмущением, которое произошло в точке в более раннее (так называемое запаздывающее) время .

Решение волнового уравнения (6.20) в отсутствии границ имеет вид:

.

Производя интегрирование по , мы получаем так называемое запаздывающее решение

. (6.30)