Некоторые понятия в гидростатике

а. Пьезометрическая высота давления. На рис. 2.4 в состоянии равновесия представлен закрытый сосуд, наполненный жидкостью, на поверхности которой давление Р>Р_а. К стекам сосуда подведены две открытые трубки, называемые пьезометрами («пьезо» - греческое слово – давление, «метр» - измерение). Трубки А и В расположены на разных уровнях z_А и z_В от плоскости сравнения 0-0. Жидкость в точках А и В, которая находится под давлением Р, поднимется по пьезометрам и, испытывая атмосферное давление Р_а, остановится на одной плоскости 0’-0’, называемой напорной плоскостью.

рис. 2.4

Пьезометрической высотой давления называется высота h_п от точки, находящейся под давлением до поверхности, где давление равно атмосферному. Из уравнения гидростатики Р=Р_а+rgh можно получить значение пьезометрических высот для точек А и В

Как видно из рис 2.4, пьезометрические высоты давления для любых точек, расположенных на разных уровнях в покоящейся жидкости, неравны между собой.

б. Пьезометрический, или гидростатический, напор. На рис 2.4 пьезометрические высоты для точек А и В установились на одной напорной плоскости 0’-0’, а сумма координат точек А и В и пьезометрических высот давления есть величина постоянная Н_А=Н_В

HA=zA+hп.A=zA+

HB=zB+hп.B=zB+

Пьезометрическим, или гидростатическим, напором Н называется высота для точки, находящейся под давлением от плоскости сравнения до поверхности, где давление равно атмосферному. Отметим, что для точек А и В пьезометрические высоты различны, а пьезометрический напор одинаков.

Рассмотрим энергетические свойства пьезометрического напора. На рис. 2.4 в точке А масса частицы жидкости равна m. Вес частицы равен mg, где g – ускорение силы тяжести. Частица жидкости из точки А может опуститься до плоскости сравнения 0-0, совершив при этом работу, равную произведению веса на путь, т. е. mg·z_A. Таким образом, частица жидкости, находясь в точке А, обладает запасом потенциальной энергии положения mgz_A. Частица в точке А находится под давлением Р_А=Р - Р_а и обладает потенциальной энергией давления, которая могла бы поднять частицу на высоту пьезометрического давления

в. Приведенная высота давления. На рис. 2.5 в состоянии равновесия представлен закрытый сосуд, наполненный жидкостью, на поверхности которой, так же как и на рис. 2.4, Р>Р_а. В сосуде выбирается точка А с координатой z_A над плоскостью сравнения, и к боковой стенке на этом уровне подведена пьезометрическая трубка. Вода в трубке установилась на пьезометрической высоте h_п.А и определился пьезометрический набор для точки А Н_А. Дополнительно в сосуд опущена трубка до уровня точки А, причем верхний конец трубки запаян и из нее выкачан воздух. Вода в этой трубке при Р=0 поднимается на большую высоту h_пр.

рис. 2.5

2.3. Поверхности равного давления

Как уже отмечалось выше, поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

Рассмотрим два примера такого относительного покоя.

В первом примере определим поверхности уровня в жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением a (рис.2.6).

Рис. 2.6. Движение цистерны с ускорением

Воспользуемся уравнением поверхности уровня

Xdx+Ydy+Zdz=0

Из массовых сил у нас действует сила тяжестит, направленная вертикально вниз, и сила инерции направленная в противоположную сторону ускорению а. Тогда вышеприведенное уравнение примет вид:

- adx – gdz=0

Разделим переменные и проинтегрируем уравнение

Получаем z = -(a/g) x + const

Константа интегрирования определяется из начальных условий: если ускорение равно нулю, то z = начальному наполнению цистерны

Величина – a/g = тангенс угла наклона свободной поверхности

В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся в практике случай относительного покоя жидкости во вращающихся сосудах (например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей). В этом случае (рис.2.7) на любую частицу жидкости при ее относительном равновесии действуют массовые силы: сила тяжести G = mg и центробежная сила P_u = mω²r, где r - расстояние частицы от оси вращения, а ω - угловая скорость вращения сосуда.

Рис. 2.7. Вращение сосуда с жидкостью

Поверхность жидкости также должна быть нормальна в каждой точке к равнодействующей этих сил R и представит собой параболоид вращения. Из чертежа находим

Используя уравнение свободной поверхности получим

Но xdx = dx² /2

Преобразуем уравнение

X² + Y² = R²

или после интегрирования

Сила давления на прямолинейную стенку

Рассмотрим прямолинейную поверхность направленную под углоа а к свободной поверхности. Давление над свободной поверхностью P₀ Выделим элементарную площадку d на глубине h с координатой вдоль этой наклонной y. Сила давления на эту площадку с учетом олсновного уравне5ния гидростатики

Проинтегрируем это уравнение с учетом того, что статический момент площадки. Получим

где h₀ - глубина погружения центра тяжести рассматриваемой площадки

Определим точку приложения равнодействующей соил давления или координату центра давления. Для этой цели заменим давление на свободной поверхности (на основании основного закона гидростатики) воображаемым столбом той же жидкости. Пролим координату y на которой лежит наша поверхность до пересечения с новой «эффективной» поверхностью. Точку поверхности будем считать мгновенным центром вращения. Момент равнодействующей сил давления отностительно этого мгновенного центра вращения равен сумме моментов составляющих сил.

Где y_D – координата центра давления

Поскольку удельный вес – величина постоянная, ее можно вынести за занк интеграла

-момент инерции площадки относительно некоторой оси x

Тогда координата центра давления

Однако расчитывать момент инерции всякий раз не очень удобно. Теоретическая мехеника позволяет это исправить: использовать значения момента инерции относительно оси симметрии площадки

Момент инерции для прямоугольника при высоте Н и ширине В равен I_с=.

Сила давления на криволинейные стенки

Определим силу давления на криволинейную поверхность. Для этого выделим на криволинейной поверхности элементарную площадку На эту площадку действует элементарная сила dP, направленная по нормали к этой площадке. Поскольку площадка элементарная, кривизной площадки можно пренебречь. Разложим эту силу на две составляющие dP_x и dP_y .

Угол - это угол между нормалью к площадке и горизонтальной осью, поэтому

Таким образом мы проецируем площадку в вертикальную плоскость и работаем с ней как с обычной плоской поверхностью. После интегрирования получим:

Рассмтрим вторую составляющую силы давления. Умножение элементарной площадки на синус угла мы получим проекцию этой площадки на свободную поверхность.При умножении этой площадки на высоту мы получаем элементарный объем.

Интегрируем выражение и получаем:

Где W – объем тела давления.

Дадим определение этой величины.

Тело давления – это объем ограниченный криволинейной поверхностью, перпендикулярами, восставленными с краев этой криволинейной поверхности на свободную поверхность , и самой свободной поверхностью.

Результирующая составляющая сил давления

Закон Архимеда

Выделим элементарный объем dW с площадкой dF. Воздействие давления жидкости на верхнюю площадку будет стремиться погрузить тело

dP1=gh1dF

Воздействие давления на нижнюю площадку будет стремиться вытолкнуть тело

dP2=gh2dF

Разность этих сил, направленная в сторону действия большей силы, т. е. снизу вверх, равна

dPп=dP2-dP1= g(h1-h2)dF
dPп=gdW

Разность давлений по всему объему погруженного тела будет

Рп==gW

Согласно закону Архимеда: тело, погруженное в жидкость, находится под действием подъемной силы гидростатического давления, направленной снизу вверх и равной весу объема жидкости, вытесненной телом.

Сила Р_п называется силой водоизмещения («подъемной силой», «архимедовой», «взвешивающей»).

Центр водоизмещения – точка приложения силы водоизмещения. Для равновесия плавающего тела лежали на одной вертикали.

УСЛОВИЕ ПЛАВАНИЯ ИЛИ ПЛАВУЧЕСТИ ТЕЛ. Вес тела, погруженного в жидкость, вычисляется по формуле

р=gW

Условия плавания или плавучести тел связаны следующими соотношениями между Р и Р_п: 1) тело плавает на любой глубине, т. е. находится в состоянии безразличного равновесия при р=Р_п; 2) тело тонет, если р>Р_п; 3) тело всплывает при условии р<Р_п.

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРИ ПЛАВАНИИ ТЕЛА. Устойчивостью называется способность плавающего тела при отклонении от положения равновесия возвращаться в это положение. Рассмотрим остойчивость тела, полностью погруженного в жидкость. Введем обозначения: А – центр тяжести; В – центр водоизмещения. На рис. 2.16 приведено три положения а, б, в.

а) А ниже В – положение тела называется остойчивым; б) А – выше В – положение тела неостойчивое; в) А и В совпадают – тело находится в безразличном состоянии равновесия.

Лекция 3. ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИК

Гидродинамика - раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости и ее взаимодействие с неподвижными и подвижными поверхностями.

Если отдельные частицы абсолютно твердого тела жестко связаны между собой, то в движущейся жидкой среде такие связи отсутствуют. Движение жидкости состоит из чрезвычайно сложного перемещения отдельных молекул.