Решение
-
Определяем сначала опорные реакции из условия равновесия балки
;
;
Проверка
Следовательно реакции определены верно.
2. Разбиваем балку на участки I,
II, III, IV,
границами участков являются сечения,
где приложены внешние силы. С помощью
метода сечения строим эпюры
и
(рис. 49а и б)
первый участок
,
второй участок
,
третий участок (рассматриваем правую
часть);
четвертый участок
3. По эпюре
видим, что наибольший изгибающий момент
равен 20 кНм.
4. Вычисляем величину максимальных нормальных напряжений, действующих в балке, по формуле (22), предварительно определив осевой момент сопротивления заданного сечения через осевой момент инерции
Тогда при
,
а напряжение
5. Запас прочности балки определяем из условия прочности
;
,
что вполне достаточно.
ЗАДАЧА № 36
Для заданной двутавровой балки (рис.
50) построить эпюры
и
,
подобрать сечение при
=160
МПа и проверить его на прочность по
касательным напряжениям, а так же
определить прогиб в точке “C”
и угол поворота сечения “K”
двумя способами: методом начальных
параметров и методом Море – Верещагина.
РЕШЕНИЕ.
1
.
Определяем сначала опорные реакции из
условия равновесия
;
;
Рис. 50
-
Строим эпюры
и
,
по участкам (рис 50а и б)
первый участок
,
второй участок
координата сечения, где
третий участок
;
3. Подбираем двутавровое сечение балки
из условия прочности по нормальным
напряжениям
,
отсюда
.
По сортаменту ГОСТ 8239 – 89 принимаем
двутавр № 22а, у которого
,
,
,
4. Применяем выбранное сечение на прочность по касательным напряжениям, применяя формулу Д.И. Жуковского.
Допускаемое касательное напряжение
обычно равно
Следовательно, прочность по касательным
напряжениям вполне обеспечена, ибо
5. Определяем прогиб “
”
в, т “C” и угол поворота
сечения “K” (в нашем
примере они совпадают) методом начальных
параметров. Для этого помещаем начало
координат в левое крайнее сечение и
записываем
В этом уравнении оба начальных параметра
и
неизвестны. Для их определения составляем
уравнения прогибов для сечений над
опорами А и В, где ясно, что они равны 0.
Подставив значения координат и внешних сил, получим два уравнения
Решив их, получим
Тогда прогиб сечения “C” будет равен
Угол поворота этого же сечения
6. Определяем прогиб сечения “C”
и угол поворота сечения ”K”
методом Мора – Верещагина, для этого
дополнительно к эпюре изгибающих
моментов от заданной нагрузки (рис. 51а)
строим эпюры
и
от единичных сил (51 б и в) и производим
перемножение соответствующих эпюр. В
результате получим (см. выражение 28)
прогиб
Рис. 51
т. е. практически получили одинаковое с методом начальных параметров значение прогиба.
Угол поворота
тоже практически совпало со значением,
полученным по методу начальных параметров.
Положительное значение результатов перемножения эпюр свидетельствует, что линейные и угловые перемещения сечений “C” и “K” совпадают с направлениями единичных сил (прогиб вниз, а поворот по часовой стрелке).