Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
сопромат методичка (А5).doc
Скачиваний:
35
Добавлен:
03.12.2018
Размер:
26.36 Mб
Скачать
  1. Методом начальных параметров.

(23)

(24)

Здесь и - прогиб и угол поворота в начале системы координат, начало координат всегда располагается в левом крайнем сечении балки;

Z – расстояние от начала координат до сечения, где определяется прогиб и угол поворота;

а, в, с, d – расстояние от начала координат до места приложения соответствующих внешних сил m, p, q.

  1. Методом мора – верещагина

Для этого строятся эпюры изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки (рис. 43, а), от единичной силы (рис. 43б) при определении прогиба и единичного момента - (рис. 43в) при вычислении угла поворота, и производится “перемножение” соответствующих эпюр, т.е. с одной эпюры берем ее площадь , а с другой – ординату , расположенную под центром тяжести взятой площади.

(26)

(27)

Рис. 43

Основные правила перемножения эпюр:

  • результат положителен, если эпюры расположены по одну сторон от оси балки, если по разные стороны – результат отрицательный;

  • положительный результат перемножения эпюр свидетельствует о том, что направление перемещения (линейного и углового) совпадает с направлением единичных сил, при отрицательном результате – противоположны направлению единичных сил;

  • если обе эпюры ( и ) линейны, то не имеет принципиального значения с какой эпюры брать площадь , с какой ординату ;

  • если одна из эпюр криволинейна (это ), то площадь обязательно берется с нее;

  • если сложно вычислять площадь эпюры, определить координаты центра тяжести ее и ординату , то при перемножении эпюр и используется прием Симсона (формула 28) (рис. 44).

(28)

А, В, С – ординаты с грузовой эпюры

а, b, с – тоже с единичной эпюры

- спина i-го участка балки

Рис. 44.

4.1. Примеры решения задач.

ЗАДАЧА № 32.

Для заданного вала (рис. 45) построить эпюру крутящих моментов и определить из условия прочности и жесткости требуемый диаметр. Вал изготовлен из стали 45, имеющей = 320 МПа, а запас по прочности К = 2,5. Допускаемый относительный угол закручивания . На валу расположены 4 шкива, передающие мощность = 15 КВт, =45 КВт, =20 КВт, =10 КВт при оборотах вала n = 955 об/мин.

Рис.45

Решение

  1. Определяем величину внешних скручивающих моментов, перед каждым шкивом (через мощность и обороты вала)

(кнм) (29)

где N – мощность, КВт; n – число оборотов в минуту.

кнм; кнм;

кнм; кнм

  1. Строим эпюру крутящих моментов, разбив вал на участки I, II, III, применяя метод сечения и приняв следующее правило знаков для крутящего момента

если смотреть на оставленную часть вала со стороны сечения, то

;

На эпюре видно, что в сечениях, где приложены внешние моменты получаются скачки, равные по величине этим моментам. Максимальная величина

= 0,30 кнм.

  1. Определяем диаметр вала по условиям прочности и жесткости, применяя формулы (20), предварительно определив допускаемое касательное напряжение

Мпа

здесь переведен в

Из полученных значений принимаем диаметр вала d = 35 мм, обеспечивая тем самым требования и жесткости и прочности.

ЗАДАЧА № 33. Для заданного ступенчатого кронштейна, нагруженного внешними окручивающими моментами m1 = 10 кНм и m2 = 30 кНм и защемленного с обоих концов, требуется построить эпюру крутящих моментов Мк и при допускаемом касательном напряжении [] = 80 . Определить диаметры сплошной и кольцевой частей (рис. 46). В кольцевой части D = 2d, d0 = 0,8d, т. е. c = = 0,4

Рис.46.

Решение.

1. Обозначив опорные моменты через m и m, и составив уравнение равновесия в виде (рис. 47а) (-mA+m1-m2+mB = 0) мы убеждаемся, что заданная система является статически неопределимой.

Превратим ее в статически определимую, отбросив например опору "В", заменив ее действие опорным моментом " m". Отбросив опору "В", мы дали возможность сечению В поворачиваться под действием всех внешних моментов, но ведь в заданной системе сечение В жестко защемлено, поворота не имеет. Отразим этот факт, составив уравнение перемещений:

=0 (30)

Рис. 47

Используя закон Гука при кручении запишем

Сократив на “a” и жесткость “”, получим

(31)

Здесь и - полярные моменты инерции сплошной и кольцевой частей кронштейна. Их соотношение равно

Решив уравнение (31), получим значение опорного момента

Тогда из уравнения равновесия определяем величину опорного момента

Полученные положительные значения опорных моментов и говорит о том, что их направление было выбрано верно.

2. Разбиваем заданную систему на участки I, II, III, IV (рис. 47б). Границами участков являются сечения, где приложены внешние моменты и меняется сечение. Строим эпюры крутящих моментов (рис. 47в) применяя метод сечений

3. Из условия прочности при кручении определяем диаметры сплошной и кольцевой частей кронштейна, предварительно определив, как действуют наибольшие касательные напряжения

Таким образом, наибольшие касательные напряжения действуют в значениях 2 участка, их и сравниваем с допускаемыми

Отсюда диаметр сплошной части d равен

Тогда размеры кольцевой части кронштейна составят ,

ЗАДАЧА № 34

Для заданной балки построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать размеры поперечного сечения в виде швеллера при допускаемом напряжении =150 Мпа.

Рис.48

РЕШЕНИЕ

1. Введем построение эпюр и М по участкам справа, со стороны свободного конца (рис 48а и б)

первый участок ,

второй участок ,

третий участок ;

,

Определим координату сечения, где поперечная сила проходит через нуль, в этом сечении изгибающий момент имеет экстремальное значение

,

2. Из условия прочности на прямом изгибе определяем размеры (номер швеллера) сечения балки ,

ПО сортаменту на швеллера Гост 8240 – 82[1] и учитывая, что сечение состоит из швеллеров, принимаем швеллер № 10, которого .

ЗАДАЧА № 35

Для заданно шарнирно опертой балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и определим с каким запасом прочности она будет работать (рис. 49), если b=60мм, h=140мм, а=35мм.

Рис. 49