Г. Екатеринбург 2002 г.

2. Растяжение (сжатие) прямого бруса - задание №1

Деформация центрального растяжения (сжатая) обусловлена возникновением в любом поперечном сечении деформируемого стержня одного внутреннего усилия – ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ N. Она -равна алгебраической сумме проекций внешних сил на ось стержня (ось Z) действующих на оставленную часть бруса (слева или справа от рассматриваемого сечения).

Максимальные нормальные напряжения действуют в поперечном сечении, распределены равномерно по сечению и равны:

где N – продольная сила, Н;

F – площадь поперечного сечения, мм²

Единица измерения напряжения – МЕГАПАСКАЛЬ – МПа, IМПа=IН/мм²

Прочность деформируемого элемента конструкций обеспечивается, если

где - допускаемое напряжение для материала стержня.

Оно равно (пластичные материалы)

Или (хрупкие материалы)

Здесь и - соответственно предел текучести и предел прочности материала;

К – требуемый коэффициент запаса прочности.

Относительная () или абсолютная () продольная деформация определяется по закону Гука

и

где Е – модуль продольной упругости, величина постоянная для каждого материала, для сталей Е=2*10⁵ МПа.

l- длина стержня, мм.

Поперечная относительная деформация равна

где - коэффициент поперечной деформации (коэф. Пуассона), для сталей .

2.1. Примеры решения задач.

Задача №1

Для заданного ступенчатого стержня (рис.1.) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, определить перемещения сечения АА, если Р₁=50 кН; Р₂=150 кН; Р₃=30 кН; а=0,4 м; F=2,5 см².

Рис. 1.

Решение

1. Разбиваем стержень на участки 1,2,3,4, границами которых являются сечения, где приложены внешние силы и меняются размеры сечения.

2. Применяя метод сечения, определяем продольные силы по участкам. Построение эпюры ведём справа, со свободного конца. Проведя произвольное сечение на 1 участке и рассматривая условие равновесия правой оставленной части, можем записать (см.рис.2а)

Поступая аналогично для второго участка, будем иметь (см.рис.2б)

Рис.2

Продольные силы и нормальные напряжения, направленные от сечения и вызывающие деформацию растяжения будем считать положительными, направленными к сечению и вызывающим деформацию сжатия – отрицательными.

Эпюра продольных сил N представлена на рис. 1а. В сечениях, где приложены внешние силы, получили скачки, равные этим словам.

3. Зная величину продольной силы на каждом участке и используя формулу (1), определяем нормальные напряжения, действующие в поперечных сечениях (рис. 1б):

4. Перемещение сечения А-А определяется деформацией части стержня, расположенного между неподвижным сечением (заделкой) и рассматриваемым сечением А-А.

Сечение А-А переместиться влево на 1,65 мм.

Задача №2

Определить диаметр d штока гидроцилиндра ГЦ, поддерживающего жесткую плиту АВ стенда для мойки тракторов (рис.3.) если он изготовлен из стали 45, имеющей , а необходимый запас по прочности К=3.

Рис.3.

Решение.

1. Делаем сечение, обозначаем усилие в штоке при N. Из условия равновесия системы определяем усилие в штоке. Он испытывает деформацию сжатия.

2. 

3. Применив условие прочности (2) при растяжении (сжатии) определяем диаметр штока

Округляем до ГОСТовских значений d=30мм.

Задача №3

Для заданного стального ступенчатого стержня, защемлённого с обеих сторон (рис 4.), построить эпюр продольных сил и определить максимальное нормальное напряжение в опасном сечении, если

Р=300кН; а=0,25 м; F=2 см², Е=2*10⁵ МПа.

Определить также величину полной потенциальной энергии деформации.

Рис.4.

Решение

1. Обозначим опорные реакции Ra и Rb и составив уравнение равновесия системы в виде

-Ra+P-Rb=0 Ra+Rb=P (1)

видим, что реакции определить не можем. Не зная реакции, мы не сможем определить с помощью метода сечений внутренние усилия- продольные силы. Следовательно, заданная система является статически неопределимой. Для её расчёта необходимо составить дополнительное уравнение перемещений. Превращаем заданную систему в статически определимую, отбросив одну из опор, например опору В (см. рис 4а). действие опоры В заменяем реакцией Rв. Отбросив опору В, мы дали возможность сечению В под действием сил Р и Rв перемещаться, но в заданной системе сечение В не имеет перемещений (жёсткая заделка).

Отразив этот факт, мы получаем необходимое уравнение перемещения

Используя закон Гука, можем записать (см. рис. 4б.в.)

Поставив значения перемещения (3) в уравнение (2), и решив его, получим

Тогда из (1) R_A=P-R_B =300-100=200кН.

2. Строим эпюры продольных сил по участкам (см. рис. 5)

Нормальные напряжения в поперечных сечениях равны

Рис.5.

3. Полная потенциальная энергия деформации стержня равна сумме энергий, накапливаемых на каждом участке

Задача №4

Жесткая плита АВ поддерживается двумя стальными стержнями одинакового сечения (рис.6.)

Определить, какие возникнут температурные напряжения в обоих стержнях, если будет нагреваться только 1 стержень на 80⁰ . Коэф. температурного расширения стали а=12*10^-6 , Е=2*10⁵ МПа.

Рис.6.

Решение.

1. Вследствие нагрева 1 стержень, стремясь расширится (удлиниться) будет воздействовать на второй стержень, вызывая в нём сжимающее усилие N₂. Второй стержень, сопротивляясь, будет тоже воздействовать на 1 стержень, вызывая в нём сжимающее усилие N₁. Для определения этих усилий составим уравнение равновесия системы в виде

Таким образом, имеем одно уравнение с 2-мя неизвестными усилиями. Следовательно, система является статически неопределимой. Для её расчёта составляем уравнение перемещений из следующих рассуждений (см. рис. 7): если бы в конструкции не было второго стержня, то 1 стержень за счёт нагрева получил бы температурное удлинение В действительности же второй стержень, сопротивляясь, будет ограничивать температурное удлинение 1 стержня. Точка приложения усилия N₁ получит перемещение , которое очевидно будет равно

Точка приложения усилия N₂ получает перемещение , которое, спроектировав на направление действия усилия N₂ , можем выразить через его деформацию

Используя подобие прямоугольных треугольников с катетами ,, 5 и 3 м, запишем

с учётом выражений (2) и (3) будем иметь

Из рис.6. видно, что

Решая совместно уравнение (1) и (4), определяем усилия в стержнях

2. Температурные нормальные напряжения, возникающие в стержнях будут равны

Задача №5

Жёсткая плита АВ должна поддерживаться двумя стальными стержнями 1 и 2, у которых сечения равны F₁=F; F₂=0,8F (рис.8). При изготовлении 1 стержень оказался короче требуемой длины на величину . Определить, какие монтажные напряжения возникнут в стержнях при сборке конструкции, если

Рис.8.

Решение

1. При сборке конструкции (рис. 8.) зазор мы будем «закрывать» очевидно за счёт деформации растяжения 1 стержня - и перемещения обусловленного деформацией сжатия стержня 2 (рис. 9). Составим уравнение равновесия системы в виде

=0, т.е. N₁ = 0.866 N₂ (1)

Рис.9

Отсюда следует, что система статически неопределима. Дополнительное уравнение перемещений составим, рассматривая характер деформации конструкции (см.рис.9).

Очевидно, что , но из подобия треугольников видим, что

Перемещение точки приложения усилия N₂ выразим через деформацию укорочения стержня 2.

Таким образом, получим после преобразований

N₂=

С учётом выражения (1), усилие в 1 стержне составит

N₁=0,866*0,204*10^-3= 0,176*10^-3

2. Монтажные напряжения в стержнях очевидно будут равны