7. Устойчивость сжатых стержней – задание №6.

Центрально сжатый стержень при значительной длине и малом сечении может при определенной величине внешней осевой нагрузки утратить заданную прямолинейную форму, т.е. продольно изогнуться. Это явление называется потерей устойчивости (продольным изгибом), оно связано с возникновением в стержне недопустимо больших напряжений и перемещений; т.е. с выходом конструкции из строя.

Осевая сила, при которой происходит потеря устойчивости прямолинейной формы сжимаемого стержня, называется критической и обозначается Ркр.

Для определения критической силы можно применить формулу Эйлера

(48)

где минимальная жесткость поперечного сечения стержня;

l – длина стержня;

μ – коэф. приведения длины, зависящей от условий закрепления концов стержня.

Формула Эйлера применима лишь в том случае, когда потеря устойчивости стержня происходит при напряжениях, меньших предела пропорциональности.

(49)

или когда гибкость стержня больше предельной гибкости

Когда известно значение критической силы, то допускаемая нагрузка определяется по требуемому (нормативному) запасу на устойчивость «К».

(50)

В случае неприменимости формулы Эйлера (для стержней с пред.) расчет можно вести по эмпирической формуле Ясинского Ф.С.

(51)

где а и в – коэффициенты, постоянные для каждого материала. Так, для стали 3 а=310МПа, в=1,14МПа; для дерева а=29,3МПа, в=0,19МПа или по практической формуле.

(52)

где φ1, коэффициент продольного изгиба, зависящий от свойств материала и гибкости стержня.

- допускаемое напряжение на сжатие.

При выполнении проектного расчета (подбора размеров поперечного сечения) (53)

Приходится использовать метод последовательных приближений (метод итераций):

1.Задаемся значением Вычисляем по (53) площадь сечения, минимальный радиус инерции i_MIN= гибкость стержня и по ней определяем, например в табл. 47 [I] коэф.

2.Сравниваем и , если разница более 5%, то делаем следующее приближение при коэф. и процесс вычислений повторяем до тех пор, пока . Обычно необходимо проделать 2-3, иногда 4 приближения.

1. Примеры решения задач.

Подобрать сечение стойки картофелеуборочного комбайна (рис. 74) состоящего из 2-х швеллеров расчетом на устойчивость, если Р=148кН, l=2,4м, =160МПа (сталь 3). Определить также расстояние «а» между швеллерами, чтобы обеспечить разноустойчивость во всех направлениях и запас по устойчивости Ку.

Рис. 74

Решение:

1.Расчет на устойчивость ведем по практической формуле (52) и (53) методом последовательных приближений.

2.Задаемся Тогда По сортаменту ГОСТ 8240 – 83 выбираем два швеллера №6,5 у которых F=7,51см²,

i_x=i_min=2,54см (потому, что i_y мощно менять за счет раздвижения швеллеров).

3.Считаем гибкость стойки, учитывая, что для заданного вида закрепления концов стойки

По таблице 47[1] для стали 3 этой гибкости соответствует коэф. Разница значительна.

4.Делаем второе приближение при

По сортаменту выбираем швеллер №5, у которого F=6,16см²; i_x=1,92см;

Таким образом, принимаем два швеллера №5 с F=6,16см²; i_y =0,454см;

Z₀=1,16см; в=32 мм.

5.Величину критического напряжения определяем по Ясинскому Ф.С. (формула 51), т.к. в нашем случае

6.Тогда критическая сила равна

7.Запас по устойчивости будет равен

7. Равноустойчивость стойки во всех направлениях будет обеспечена если осевые моменты инерции будут равны, т.е Jx=Jy (рис. 75)

2 Jx=2Jy= Jy₁+F*c²

Отсюда

Тогда расстояние «а» будет равно

Рис. 75

а=2(с+z₀-b)=2(1.67+1.16-3.2)=-0.74см

Следовательно, полки у швеллера надо подогнуть на 3,7 мм и оба швеллера сварить встык.