6. Расчет рамных конструкций – Задание № 5.

Рамой называют статически неопределимую стержневую систему с жестко соединенными в узлах стержня. Для расчета таких систем наибольшее распространение получил «метод сил», который и рассмотрим применительно к плоским рамным конструкциям.

Расчет рамы начинают с определения степени ее статической неопределимости, которая равна числу лишних (дополнительных) связей как внешних (реакций), так и внутренних (силовых факторов), т.е.

S=i – 3,

Где S – степень статической неопределимости рамы;

i - общее число связей (внешних и внутренних);

3 – число уравнений статики для плоской системы сил.

Затем заданную статистически неопределимую стержневую систему

(рис. 68а) превращаем в статически определимую и геометрически неизменяемую систему путем «отбрасывания» лишних связей, действие которых заменяем неизвестными силами, т.е. выбираем основную систему

(рис. 68б или в)

Рис. 68

Основная система будет эквивалентна (равнозначна) заданной системе, если мы отразим тот факт, что перемещение в направлении неизвестных усилий должны быть равны нулю. В канонической форме метода сил дополнительные уравнения перемещений имеют вид

………………………………… (46)

Здесь δ_ii, δ_ik – перемещения от неизвестных сил Хi, Хк равных единице в соответствующем направлении;

- перемещение в направлении «i» неизвестного усилия от внешней нагрузки.

Число этих уравнений равно степени статистической неопределимости рамы.

Все перемещения (коэф. Кононических уравнений) определяются по методу Мора-Верещагина, для чего для основной системы строятся эпюры изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки (грузовая эпюра Мхр), от каждого неизвестного усилия, равного единице (единичные эпюры Мi, Мк) и путем перемножения соответствующих эпюр вычисляем эти коэффициенты:

η_сi

(47)

Решив канонические уравнения, определяем неизвестные усилия. Далее строим окончательные эпюры внутренних усилий (N, Qy, Mx) для основной системы обычным способом.

6.1 Пример расчета рамы.

Для заданной (рис. 69) плоской рамы, построить эпюру внутренних усилий (N, Qy, Mx) и подобрать размеры указанного поперечного сечения при =150МПа.

Рис. 69 Рис. 70

Решение:

1. Определяем сколько раз статически неопределима рама. В заделке 3 связи, шарнирно – неподвижной опоре 2 связи, следовательно общее число связей равно 5. Тогда S=i-3=5-3=2раза.

2. Выбираем основную систему, отбросив 2 лишние связи (рис. 70).

3. Составляем два канонических уравнения перемещений, поскольку рама дважды статически неопределима.

4. Для основной системы строим эпюры изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки (рис. 71а) и от Х₁=1 и Х₂=1 (рис. 71 б, в)

Рис. 71

5. Определяем коэф. Канонических уравнений путем перемножения соответствующих эпюр.

6. Решаем канонические уравнения перемещений

27Х₁+6Х₂+120=0

6Х₁+2,67Х₂+40=0 | 4,5

6Х₂+120-12Х₂-180=0

Знак говорит о том, что направление усилий Х₁ и Х₂ в основной системе выбрано неверно. Меняем направление на обратное и про знак забываем.

7.Строим окончательные эпюры внутренних усилий N, Qy, Mx для основной системы (рис. 72) по участкам (рис. 73 а, б, в).

Рис. 72

I участок

II участок

N₂=0; Qy₂=0; Мх₂= -м= -40кНм

III участок

N₃=P=20кН; Qy₃=0; Мх₃= -Р3+м= -203+40= -20кНм.

IV участок

N₄=X₂=10кН; Qy₄=X₁=2,2кН; Мх₄=х₁z

V участок

N₅= -P+X₁= -20+2,2= -17,8кН; Qy₅=X₂=10кН;

Мх₅= -Р3+м+Х₁3+Х₂

Рис. 73

7.Убедимся, правильно ли построили окончательную эпюру изгибающих моментов Мх, для этого сделаем «деформационную» проверку. Умножим эту эпюру на самую простую единичную эпюру – М₂.

Получение нулевого результата перемножения эпюр свидетельствует о том, что окончательная эпюра Мх, построена верно (ведь перемещение в направлении Х₂ в заданной раме отсутствует, там опора).

9.Определяем размеры поперечного сечения рамы из условия прочности по нормальным напряжениям от изгибающего момента.

Отсюда