5. Сложное сопротивление – задание № 4

Сложное сопротивление – это такой случай нагружения деформируемого тела, когда в произвольном поперечном сечении возникают несколько внутренних усилий. Порядок оценки прочности элементов конструкции при сложном сопротивлении почти не отличается от общего порядка расчета, изложенного во введении (см. стр4).

Единственное, на что надо обратить особое внимание, заключается в следующем:

- в опасной точке могут действовать напряжения одного вида (только касательные «τ» или только нормальные «» ) или разного – , τ – и касательные и нормальные. Для определения максимального расчетного (эквивалентного) значения напряжения в первом случае применяют алгебраическое суммирование действующих напряжений от каждого внутреннего усилия, во втором случае – теории прочности, чаще всего III и IV теории, когда эквивалентные напряжения определяют по формулам: _э^III = , _э^IV = (30)

Наиболее частыми случаями сложного сопротивления, встречающимися в инженерной практике, являются косой изгиб, изгиб с растяжением (сжатием), кручение с изгибом.

Косой изгиб - возникает тогда, когда плоскость действия внешней нагрузки (силовая плоскость) не совпадает с плоскостями главных осей инерции поперечного сечения. Для удобства расчета внешнюю нагрузку раскладывают на составляющие по главным осям, сводя таким образом косой изгиб к сочетанию 2-х прямых изгибов, строятся эпюры изгибающих моментов в обоих плоскостях и по ним определяется положение опасного сечения. Расчет ведут обычно только по нормальным напряжениям. Тогда расчетное (эквивалентное) напряжение будет равно:

_э = _Мх + _Му = (31)

где М_х и М_у – изгибающие моменты относительно главных осей сечения;

I_x, I_y – осевые моменты инерции;

х, у – координаты точки, где определяется напряжение;

Для определения опасных точек, где действуют максимальные напряжения, предварительно определяется положение нейтральной линии

где α – угол с осью у, определяющий положение силовой плоскости;

β – угол с осью х, который образует нейтральная линия (см. рис.52)

Рис 52

Проведя касательные к контуру сечения, параллельно нейтральной линии, устанавливаем две опасные точки «C» и «A», в которых напряжения будут равны

_а= (33)

_с= -

В данном случае в т. А действуют растягивающие напряжения, в т. «С» - сжимающие.

Для материала бруса, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, прочность оценивается по наиболее опасной точке, например «А».

_а=[] (34)

Для материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, прочность оценивается в обеих опасных точках и прежде всего, по растягивающим напряжениям

_а=[]р (35)

_с= -[]_сис

В случае сочетания центрального растяжения (сжатия) с прямым изгибом суммарное (эквивалентное) напряжение в опасных точках будет равно

_э= _N +_Мх = (36)

Естественно, оно будет максимальным в тех волокнах сечения, где оба напряжения – от продольной силы N и изгибающего момента имеют одинаковый знак.

В случае сочетания центрального растяжения (сжатия) с косым изгибом суммарное (эквивалентное) напряжение равно

_э= _N + _Мх + _Му= (37)

Опасные точки сечения определяются как в случае косого изгиба, т.е. устанавливается положение нейтральной линии (формула 32) и проводятся касательные к контуру сечения параллельно нейтральной линии. Прочность оценивается по формулам (34) или (35) с добавлением в них третьего слагаемого – напряжение от продольной силы N.

В случае вне центрового приложения осевой нагрузки (см.рис.53) суммарное (эквивалентное) напряжение в опасных точках определяется из выражения

_э= _{N + Мх + Му} = (38)

где N=p – продольная сила;

Мх=P - изгибающий момент относительно оси Х;

Му=P- то, же, относительно оси У;

Хр, Ур – координаты точки приложения осевой силы (полюс силы)

i_x, i_у – радиусы инерции сечения, которые равны i_x=; i_у=

Х, У – координаты точки, в которой определяется напряжение

Рис. 53

Для нахождения опасных точек определим положение нейтральной линии по отрезкам

а_х= - ; а_у= - (39)

Отсюда видно, что нейтральная линия и полюс силы находятся по разные стороны от центра тяжести сечения (см.рис.53).

В нашем случае наибольшее сжимающее напряжение действует в точке «А».

_а= - (40)

а наибольшее растягивающее напряжение в точке «С».

с= - (41)

Сравнивая эти напряжения с допускаемым напряжением делаем вывод, о прочности растянутого или сжатого стержня. В случае совместного действия деформаций кручения и изгиба расчет на прочность ведут, как правило, с учетом нормальных напряжений от изгибающих моментов и касательных напряжений от крутящего момента. Для удобства выполнения расчета, все внешние силы, обычно действующие в разных плоскостях и направлениях, раскладывают на составляющие в вертикальной и горизонтальной плоскостях и строят соответствующие эпюры изгибающих моментов Мх, Му. По эпюрам Мх, Му, Мк определяют опасное сечение, в котором эти внутренние усилия имеют максимальное значение. Если по эпюрам не удается достоверно сразу установить опасное сечение, то проверяется несколько предположительно опасных сечений, в которых суммарный изгибающий момент максимален

М_n = (42)

В опасном сечении наибольшие напряжения от кручения и изгиба действуют в крайних (к поверхности) волокнах и расчетное (эквивалентное) напряжение определяют с использованием III и IV теории прочности (см. формулы 30). Так, по III теории прочности с учетом выражений (16), (22) будем иметь

_э^III =

= [ ] (43)

Отсюда получаем формулу для определения диаметра вала при выполнении проектного расчета

d = (44)