БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ, ТЕХНОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ

ФАКУЛЬТЕТ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

КАФЕДРА УПРАВЛЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

по дисциплине

Теория автоматического управления

Исследование устойчивости и качества линейных импульсных систем

Выполнил ст. гр. УИТ-41

Печавин А. В.

Проверил преподаватель

Мартынова И. В._______

«___» ___________2005

2005

Цель работы: исследовать влияние параметров ЛИС на устойчивость и качество переходных процессов.

Данные: передаточная функция системы, параметры T=0.25; K=1.5; T₁=2; d₁=0.8. Передаточная функция примет вид:

1. Найдем дискретную передаточную функцию разомкнутой системы используя матричный метод.

По заданной передаточной функции запишем дифференциальное уравнение:

4y’’ + 3.2y’ + y =1.5u

Перейдем к уравнениям в пространстве состояний:

y = x₁

y’ = x’₁ = x₂ 4x’₂ + 3.2x₂ + x₁ = 1.5u

y’’ = x’₂

x’₁ = x₂

x’₂ = -0.25x₁ – 0,8х₂ + 0.375u

y = x₁

=> X’ =

Y = (1 0)x

Следовательно, матрицы:

= ; = ; = (1 0)

По формуле (4) определим матрицы А и В

+ 0,2 + ²· =

Матрицы С и совпадают.

Разностные уравнения имеют вид:

X’(k+1) = x(k) + u(k)

Y(k) = (1 0)x(k)

Дискретную передаточную функцию с фиксатором нулевого порядка находим по формуле:

W(z) = C{ZI-A}^-1B

{zI – A}^-1 = =

W(z) = (1 0) =

2. Определим дискретную передаточную функцию замкнутой системы

После подстановки и упрощения получим:

3. Определим устойчивость системы по критерию Шур-Кона

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

Для уравнения второго порядка воспользуемся следующими условиями:

Согласно критерию, система устойчива.

4. Исследуем систему с помощью билинейного преобразования .

Характеристическое уравнение замкнутой системы представим в ω-форме:

Получим:

или

Для анализа устойчивости этого уравнения используем критерий Гурвица.

а₀=1,94998>0

Δ₁=а₁=2>0

Согласно критерию, система устойчива.

5. Модели непрерывной системы в замкнутом состоянии представлены на рисунке 1. Причем вторая модель с установленным в системе интегратором, а третья с найденным значением K, при котором система находится на границе устойчивости. На рисунке 2 представлены переходные характеристики построенных моделей.

Рисунок 1 – Модели непрерывной системы

Рисунок 2 – Переходные процессы непрерывной системы

Модели импульсных систем:

1. непрерывная система с экстраполятором нулевого порядка;

2. непрерывная система с дискретной передаточной функцией, включающей передаточную функцию экстраполятора;

3. непрерывная система с экстраполятором нулевого порядка;

4. непрерывная система с экстраполятором нулевого порядка с коэффициентом К, выводящем систему на границу устойчивости;

5. непрерывная система с экстраполятором и цифровым интегратором с коэффициентом К, выводящем систему на границу устойчивости.

Рисунок 3 – Модели ЛИС

Рисунок 4 – Переходные характеристики систем 1, 2 и 3

Рисунок 5 – Переходные характеристики систем 4 и 5