частотные характеристики исследуемого звена.

Подставляя выражение для входного и выходного сигналов звена в (2.1), получим уравнение

[a2 ( jω )2 + a1 ( jω ) + a0 ] y0 (ω ) e j[ω t + ϕ (ω )] = [b2 ( jω )2 + b1 ( jω ) + b0 ] x0 (ω ) e jω t , дающее возможность рассчитать АФХ звена через коэффициенты дифференциального уравнения (2.1) следующим образом:

Рис. 2.1. Вид амплитудно-фазовой частотной характеристики

Кроме АФХ звеньев в теории автоматического управления широкое распространение нашли логарифмические амплитудные (ЛАХ) и фазовые (ЛФХ) частотные характеристики (ЛЧХ). При их построении по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, а по оси ординат – величина L(ω ) = 20lg A(ω ) в децибелах и ϕ (ω ) . При этом наибольшее

применение получили асимптотические ЛАХ.

2.2. Порядок выполнения работы Перед началом работы следует получить у преподавателя номер варианта

параметров исследуемых типовых звеньев.

10

1. Исследование основных характеристик апериодического звена первого порядка

а) Определение h(t) при отрицательных начальных условиях. В пакете расширения Simulink создайте структуру, соответствующую подаче ступенчатой функции с коэффициентом k = U Я max (табл. 2.1.) на вход

исследуемого звена, задайте требуемые значения параметров. Для задания передаточной функции звена с начальными условиями используйте блок

Transfer Fcn (with initial states), находящийся в дополнительной группе блоков Simulink Extras, подгруппе Additional Linear. В параметрах моделирования задайте время моделирования не менее

5Т. Проведите имитационное моделирование, получите на экране график переходной функции и напечатайте его. Отрицательные начальные условия

соответствуют значению ω 0 со знаком "минус" (табл. 2.1).

б) Определение h(t) при положительных начальных условиях. Отредактируйте значения параметров исследуемого звена и повторите моделирование. Нанесите на полученный в предыдущем пункте график новые значения переходной функции в узловых точках, постройте график.

в) Определение h(t) при нулевых начальных условиях. Выполните п. 1,б. г) Определение частотных характеристик при номинальных значениях

параметров. Постройте и распечатайте ЛЧХ и АФХ исследуемого звена. На полученной ЛАХ постройте асимптотическую ЛАХ, определите ошибку сопряжения.

2. Исследование основных характеристик реального дифференцирующего звена. Задайте на входе ступенчатую функцию с коэффициентом усиления

k = U1 (табл. 2.1).

а) Определение h(t) при номинальных значениях параметров. Выполните п. 1,а при THOM , задав время моделирования не менее 5TMAX .

б) Определение h(t) при увеличенной постоянной времени. Выполните п.

1,б.

в) Определение частотных характеристик при номинальных значениях параметров. Отредактируйте значения параметров исследуемого звена и выполните п. 1,г.

г) Определение частотных характеристик при увеличенной постоянной времени. Отредактируйте значения параметров исследуемого звена и получите на экране требуемые частотные характеристики. Используя их, нанесите на полученные в предыдущем пункте графики новые значения характеристик в узловых точках, постройте графики.

3. Исследование основных характеристик колебательного звена

а) Определение h(t) при отрицательных начальных условиях и ξ < 1. Выполните п. 1,а. Отрицательные начальные условия выбираются из табл. 2.1 для положения δ и скорости pU A со знаком "минус".

11

б) Определение h(t) при положительных начальных условиях и ξ < 1. Выполните п. 1,б.

в) Определение h(t) при нулевых начальных условиях и ξ < 1. Выполните п. 1,б.

г) Определение h(t) при нулевых начальных условиях и ξ = 0 . Выполните п. 1,а.

д) Определение h(t) при нулевых начальных условиях и ξ > 1. Выполните п. 1,б.

е) Определение h(t) при нулевых начальных условиях и ξ < 1. Выполните п. 1,б.

ж) Определение частотных характеристик при ξ < 1. Выполните п. 1,г.

з) Определение частотных характеристик при удвоенном ξ . Выполните п. 2,г, положив ξ ′ = 2ξ , где ξ < 1.

2.3.Варианты заданий

Вданной работе исследуются основные временные и частотные характеристики апериодического, реального дифференцирующего и колебательного звеньев, т.к. характеристики безынерционного и интегрирующего звеньев очевидны, а реализация операции идеального дифференцирования средствами цифровой вычислительной техники невозможна.

При этом с помощью апериодического звена 1-го порядка описывается двигатель постоянного тока, реального дифференцирующего звена – дифференцирующая RC-цепь, колебательного звена – акселерометр для измерения угловых ускорений. Схемы исследуемых звеньев приведены на рис. 2.2.

Исходные данные для моделирования указанных звеньев приведены в табл. 2.1.

2.4.Содержание отчета по работе

1.Цель работы.

2.Схемы исследованных типовых звеньев, их передаточные функции с числовыми значениями параметров и экспериментально полученные графики.

3.Ответы на контрольные вопросы.

2.5.Контрольные вопросы

1.Как зависит характер переходной функции в апериодическом звене от начальных условий?

2.Чему равна ошибка на сопрягающей частоте при использовании асимптотической ЛАХ?

3.Как влияют параметры апериодического звена на вид АФХ?

12

Рис. 2.2. Исследуемые типовые звенья САУ: а – двигатель постоянного тока; б – дифференцирующая цепь; в – акселерометр угловых ускорений

Таблица 2.1.

13

4.Как зависит характер переходной функции от параметров k и Т реального дифференцирующего звена?

5.Зависит ли вид ЛЧХ от параметра k реального дифференцирующего

звена?

6.Как зависит вид АФХ от параметра Т реального дифференцирующего

звена?

7.Как сказывается введение ненулевых начальных условий по первой производной выходной величины колебательного звена на характер переходной функции?

8.Как зависит характер переходной функции колебательного звена от

параметра ξ .

9.Как зависит вид ЛЧХ колебательного звена от параметра ξ ?

10.Как зависит вид АФХ колебательного звена от его параметров?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ САУ ЧАСТОТНЫМИ МЕТОДАМИ

Цель работы Изучение и приобретение практических навыков применения критерия

Найквиста и метода ЛЧХ для анализа устойчивости САУ.

3.1. Основные сведения Процессы управления в линейных разомкнутых САУ описываются

уравнениями вида:

и определяют устойчивость системы, т.е. способность возвращаться в установившееся состояние после прекращения действия, которое вывело её из этого состояния.

Система является устойчивой, если все корни располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной, т.е. являются отрицательными или имеют отрицательные вещественные части. Для определения устойчивости используются различные критерии, позволяющие определять знаки корней без их вычисления.

14

Наибольшее применение нашли частотные критерии устойчивости, а среди них критерий Найквиста и метод ЛЧХ, основанные на принципе аргумента. При переходе в частотную область анализа заменой p = jω , изменение

аргумента каждого сомножителя ( jω − pi ) в уравнении (3.2) при − ∞ ≤ ω ≤ + ∞ определяется в среднем следующим выражением:

arg( jω − pi ) = ± π ,

где знак "+" соответствует корню рi левой, а "-" – правой полуплоскости (рис. 3.1).

характеристический полином замкнутой системы.

Согласно данному принципу изменение аргумента определяется выражением

argϕ ( jω ) = arg A( jω ) − arg Ap ( jω ) при − ∞ ≤ ω ≤ + ∞ .

При наличии m корней в характеристическом уравнении замкнутой системы, расположенных в правой полуплоскости комплексной переменной, и при условии устойчивости разомкнутой системы справедливо равенство

15

argϕ ( jω ) = − π (n − m) + π n = π m при − ∞ ≤ ω ≤ + ∞ .

Отсюда очевидно, что для систем, устойчивых в разомкнутом и замкнутом состояниях, выполняется условие критерия Найквиста

argϕ ( jω ) = 0 при − ∞ ≤ ω ≤ + ∞ .

Графическая интерпретация этого условия для статической системы показана на рис. 3.2,а.

Переход к АФХ САУ, т.е. к её комплексному коэффициенту передачи, полученному из (3.3) по выражению

K( jω ) = W ( p) p= jω = ϕ ( jω ) − 1,

дает возможность сформулировать критерий Найквиста следующим образом.

Рис 3.2. Критерий устойчивости Найквиста: а – в плоскости [ϕ ( jω )]; б – в плоскости [K( jω )] ; 1 – устойчивая САУ; 2 – неустойчивая САУ

Следует отметить, что при ω = 0 АФХ астатических систем претерпевает

меняется от − π 2 до + π 2 .

Следовательно, для интегратора справедливо выражение

K( jω ) = Kρ e− jϕ ,

объясняющее вид его АФХ, приведенный на рис. 3.3,б.

Критерий Найквиста, интерпретированный в область ЛЧХ, получил название метода ЛЧХ. Согласно этому методу САУ, устойчивая в разомкнутом состоянии в том и только в том случае, когда на частоте среза разомкнутой

16

системы, т.е. частоте, при которой K( jω ) = 1, 20lg K( jω ) = 0 , фазовый сдвиг ϕ (ω C ) не превосходит значения − π .

Рис. 3.3. АФХ интегратора: а – в плоскости [ p] ; б – в плоскости [ω ]

Применение метода ЛЧХ к анализу устойчивости астатической системы первого порядка показано на рис. 3.4. На этом же рисунке показано определение запасов устойчивости по фазе ϕ и по модулю A.

Рис. 3.4. Интерпретация критерия Найквиста в области ЛЧХ:

а – устойчивая астатическая система первого порядка; б – метод ЛЧХ

3.2. Порядок выполнения работы Перед началом работы следует получить у преподавателя номер варианта

параметров исследуемых САУ.

1. Анализ устойчивости статической системы а) Определение устойчивости методом ЛЧХ

17

Создайте структуру замкнутой системы с единичной обратной связью, на вход которой подается единичное ступенчатое воздействие, а передаточная функция прямой цепи соответствует заданной передаточной функции разомкнутой системы. Задайте требуемые значения параметров.

Получите ЛЧХ исследуемой системы, подобрав диапазон изменения частоты таким образом, чтобы в него входили все сопрягающие частоты.

На полученной ЛАХ постройте асимптотическую ЛАХ, определите частоту среза и фазовый сдвиг на этой частоте.

Сделайте вывод об устойчивости исследуемой системы. Для устойчивой системы определите запасы устойчивости по фазе ϕ и модулю A.

б) Определение устойчивости по критерию Найквиста Получите качественный вид АФХ, исследуемой системы при изменении

частоты от верхней границы выбранного диапазона частот до минимально необходимого значения.

Путем изменения нижней границы частоты найдите критическую точку на мнимой оси и напечатайте АФХ исследуемой системы вблизи этой точки.

По полученной АФХ определите фазовый сдвиг на частоте среза. Сделайте вывод об устойчивости исследуемой системы. Для устойчивой

системы определите запасы устойчивости по фазе и по модулю. Сравните результаты с п. 1,а.

в) Проверка устойчивости методом моделирования Проведите имитационное моделирование. Получите график переходной

функции, подобрав экспериментально время моделирования, исходя из возможности вывода об устойчивости исследуемой системы. Напечатайте график.

2.Анализ устойчивости астатической системы первого порядка Выполните операции п. 1.

3.Анализ устойчивости астатической системы второго порядка Выполните операции п. 1.

3.3.Варианты заданий

Вданной работе применяются критерий Найквиста и метод ЛЧХ для анализа устойчивости статических и астатических систем первого и второго порядка.

Передаточные функции исследуемых систем в общем виде определяются следующим образом:

Исходные данные для моделирования указанных систем приведены в табл. 3.1.

18