3. Обобщенный критерий Найквиста.

Сформулированный достаточные условия не дают ответа на вопрос: может ли система с обратной связью быть устойчивой, если характеристические многочлены звеньев имеют корни в правой полуплоскости (т.е. заведомо неустойчивые). Оказывается это возможно и существует необходимое и достаточное условие устойчивости такой системы.

Теорема 1.5.2.(Обобщенный критерий Найквиста).

Пусть выполнены условия:

1. - правильная дробно-рациональная функция;

2. Многочлены и не имеют совпадающих корней в правой полуплоскости (нули и полюса - не совпадают;

3. Известно число полюсов в правой полуплоскости равно q.

Тогда для устойчивости системы звеньев с отрицательной связью необходимо и достаточно чтобы при точка на комплексной плоскости совершала, ровно q полуоборотов вокруг критической точки (-1;0) или, что то же самое, годограф ровно q/2 раза охватывает критическую точку.

Вместо доказательства: геометрические примеры:

Следствие 1. Оба звена устойчивы, т.е. - устойчиво.

1. Пересекает правее (-1,0). (Может и вовсе не пересекать!).

I

-1 R

2. Столько раз пересекает ось по направлению вверх, сколько и по направлению вниз.

I

-1 R

В этих случаях годограф не должен охватывать (-1,0). Эта ситуация соответствует ранее разобранной теореме 1.5.1.

Следствие 2. не имеет полюсов на мнимой оси, но есть полюсов справа.

Пусть . Тогда если годограф такой же, как на 1) или 2), то теперь система неустойчива, а вот если, то соответственно неустойчивая система (один полуоборот).

I

-1 R

Следствие 3. имеет 1 нулевой корень, а остальные корни – слева.

В этом случае кривая строится без (т.к. тогда ).

1. I

-1 R

2. 

I

-1 R

Более сложные случаи, когда имеет кратные корни, рассматривать не будем, т.к. в этих случаях могут возникнуть разрывы графика годографа и требуется специальная процедура их дополнения (см. учебник).

Лабораторная работа:

1. Выбрать 2 случая :

1. С полюсами только слева;

2. С несколькими (1,2) полюсами справа.

2. Построить годограф и по графику, следуя теоремам 1.5.1 и 1.5.2 определить устойчивость системы с отрицательной обратной связью.