4. Устойчивость системы.

Система осуществляет устойчивые преобразования от каждого внешнего входа к каждому внешнему входу. Следовательно, устойчивость системы обеспечивается, если

1. строго реализуемы все соотв. Переходные функции;

2. характеристический многочлен - устойчив.

По аналогии, следует считать систему устойчивой, если при любых начальных условиях и отсутствии внешних воздействий процессы на всех выходах -> 0 при t->. Однако тогда для всех выходов справедливы однородные уравнения

И следовательно система устойчива по начальным условиям, если устойчив ее характеристический многочлен.

1. и 2) достаточны для устойчивости системы в обоих смыслах.

1. Установившаяся реакция и частотная характеристика.

1. Определение реакции при гармоническом воздействии.

Определение: назовем установившейся реакцией на заданное воздействие , такую функцию , что

Где - решение (1.2) при нулевых начальных условиях.

Пусть воздействие .

Теорема 4.1. если звено H(p) является устойчивым, то устойчивая реакция на гармоническое воздействие (4.2) является той же тригонометрической функцией с той же частотой и амплитудой и относительным сдвигом фазы

Доказательство:

Найдем реакцию на

Согласно (1.6)

Т.к. звено устойчиво, то выполнено условие теоремы 3.1

Следовательно :

- по определению - преобразования

Следовательно:

- является установившейся реакцией на .

В силу линейности реакция на сумму равна сумме реакций и отсюда вытекает, что реакцией на является , а реакцией на является

.

Пример:

Рассмотрим:

Применим критерий Рауса.

k	0	1	2
	1	1	1
	1	1	1
	2	1	1
	1	1	1
		1	1

;

: вычисляем

;

:

.

;

: вычисляем

;

– многочлен устойчив.

Тогда

.

.

.

Где

Комплекснозначная функция называется комплексной частичной характеристикой.

Если изменять от 0 до ,то каждое определяется точкой на комплексной плоскости для каждого , то такое множество точек называется годографом частотной характеристики.

Всякое комплексное число можно представить 2-мя вещественными числами следующими способами:

1. Модулем и аргументом

2. Вещественной и комплексной частью .

Если – АЧХ, – ФЧХ, – вещественная ЧХ, - мнимая ЧХ.

Если известны и , то, согласно теореме 4.1, для определения амплитуды и фазы устойчивой реакции на гармоническое воздействие можно пользоваться следующим приемом, используя результаты теоремы 1.4.1.

Устойчивая реакция на полиномиальное воздействие. Рассмотрим внешнее воздействие:

Теорема 4.2 Устойчивая реакция устойчивого звена на полиномиальное воздействие (4.3) также является многочленом, представимым виде:

где:

Доказательство:

Разложим в ряд Тейлора в точке t. Т.к. v(t)-многочлен N-ой степени, то в этом разложении следует оставить только (N+1) первых членов; тогда:

Следовательно:

Существование предела

следует из того факта, что h(t) соответствует устойчивой по входу H(p), имеет в своем представлении слагаемые с , где . Тогда сразу

С другой стороны:

Теорема доказана.

Следствия из теоремы 4.2.

1. Если . То .

2. Если то .

Пример:

Пусть , а . Тогда

и .

Эти результаты получены при изучении реакции одного звена.