2. Алгебраические критерии устойчивости.

В математике известны эффективные методы проверки устойчивости многочленов. Начнем с необходимого условия.

Теорема 3.3 (критерий Стодолы).

Если многочлен с устойчив, то все его коэффициенты .

Доказательство:

Пусть у существуют вещественные корни и пары комплексно сопряженных корней . Тогда в разделении по корням будут присутствовать двучлены и трехчлены . . Т.к. – устойчивый многочлен, то . Но тогда все коэффициенты в - положительны, а следовательно, порождаемые ими ( по обобщенной теореме Виета) коэффициенты многочлена , являются суммой их произведений . Теорема доказана.

Критерий Стодолы - дост. Для n=1 и n=2. В остальных случаях его можно использовать как критерий неустойчивости: (Если А-> B, то ).

Если среди коэффициентов многочлена есть неположительные, то такой многочлен неустойчив.

Для определения устойчивости многочлена ( без вычисления его корней) лучше всего использовать алгоритм Рауса. Пусть заданы , , коэффициент многочлена

Тогда если k – номер шага алгоритма, то:

1. k =1: вычисляем . Если , то многочлен неустойчив.

2. Если , то k = k+1 и, начиная с вычисляем:

(Если ).

3. Если все , то многочлен устойчив.

Для и - этот алгоритм легко выполняется в общем виде и полученные в этих случаях условия называются условием Рауса.

Рассмотрим пример использования этого алгоритма:

	0	1	2	3
	2	2	2	2
	6	6	6	6
	10	7	7	7
	9	9	5	5
	5	14/3	14/3	49/15
	1	1	1	1
		1/3	6/7	7/5	75/49

;

: вычисляем

;

:

;

:

;

Заполняем 1 столбец.

;

: вычисляем

;

:

;

;

: вычисляем

;

:

;

$

– многочлен устойчив.

Вывод: многочлен с = устойчив.

Существуют условия Рауса - Гурвица на коэффициенты многочлена в общем виде, но практически удобнее пользоваться данным критерием.

3. Устойчивость по начальным условиям.

Начиная с §1, было сделано предположение, что дифференциальные соотношения (1.1) будут рассматриваться при нулевых начальных условиях.

Если начальные условия – не нулевые, то решение можно записать как суммы двух решений:

1. - как решение однородного уравнения:

Где – константа, если - простой корень;

и многочлены, степени на 1 ниже, чем кратность корня .

2. - частное решение неоднородного уравнения

В качестве выберем решение с неявными начальными условиями:

Тогда:

Наличие ненулевых начальных условий приводит к появлению фактора, изменяющего характер связи между входом и выходом.

Определение: звено называется устойчивым по начальным условиям, если вызываемый ими эффект () исчезает при .

Тогда, из определения и (3.3) вытекает, что существует критерий устойчивости по начальным данным:

Система устойчива по начальным условиям, если все корни характеристического множества имеют .( т.е. является устойчивым многочленом).

Т.к. устойчивость по начальным данным совпадает с одним из условий устойчивости по входу, то при выполнении этих условий употребляется более краткий термин – устойчивое звено. А соответственно переходную называют устойчивой переходной функцией.