2. Структурные представления.

В первой части §1.2 рассматривалась задача сведения звеньевой системы к системе, состоящей из одного входа и нескольких выходов.

Рассмотрим обратную задачу. Пусть существует одно некое сложное звено:

Где и – произв. многочлены степени и соответственно;

и - степени многочленов.

Как эту систему из 1-го звена преобразовать к эквивалентной системе, состоящей только из простых типовых звеньев. Имеет мест следующая:

Теорема: Если выполнено условие , то звено (2.15) эквивалентно системе, состоящей только из звеньев типа идеальных усилителей и интеграторов и имеющей внешний вход и внешний выход .

Схема доказательства:

При , .

составим систему

Если - решения этой системы, то всегда можно подобрать такие , что y – решение исходного уравнения. Чтобы это показать, выражаем все через и и подставляем в последнее уравнение системы. Тогда перенося все члены с влево, а с -вправо, приходим к следующему выводу:

1. В левой части – такое же выражение, как и в части уравнения;

2. Приравнивая правые части, покажем, что однозначно определены такие , что при их выборе и правые части совпадают.

Но тогда, если ввести:

, то все 1-е ( уравнение системы записывается - это интеграторы, а последнее -ое уравнение записывается

Это стандартное представление уравнения связи, как и - что и доказывает теорему.

1. Устойчивость.

1. Устойчивость звена по входу.

Определение: звено называется устойчивым по входу если при любом входном воздействии и нулевых начальных условиях входная реакция является ограниченной при любых и при . В противном случае звено неустойчиво.

Теорема 1.3: (необходимое и достаточное условие устойчивости по входу).

Если звено описывается уравнением:

(3.1), то по его устойчивости по входу необходимо и достаточно (Н и Д) выполнение условия:

(Напоминаем, что , а интеграл от 0 до от модуля весовой функции звена ограничен.)

Доказательство (Д): По определению весовой функции:

Пусть - ограниченная функция, тогда:

Но тогда устойчивость следует из условия (3.2). (Мы доказали что из - ограничена и (3.2) следует – ограничен).

Доказательство (Н): для доказательства необходимости докажем, что существует такая ограниченная функция , что если (3.2) – нарушается, то может быть сколь угодно большим, т.е. - неограничен.

Пусть :

.

Тогда:

Следовательно, если (3.2) нарушается, может оказаться больше любого заданного числа. Значит (3.2) необходимо для устойчивости. Теорема доказана.

Применимость теоремы (3.1) связана с вычислением весовой функции звена.

Теорема 3.2 (2-ое Н и Д условие):

Для выполнения условия (3.2) Н и Д чтобы передаточная функция была ограничена по модулю при любых p, с .

Доказательство (Д): Пусть ограничена при и положим , корни многочлена - все различные (простые полюсы). Тогда, т.к. - дробно-рациональная функция, то:

;

- многочлен степени (m-n).

Из предположения ограниченности при следует:

1. , т.е.

2. (иначе при существуют корни в правой полуплоскости, а это приводит к тому, что ограничено при ).

Но тогда и можно найти весовую функцию для передаточной функции

и тогда

Но тогда

(используем тот факт, что

Доказательство (Н): необходимость вытекает из определения весовой функции

Тогда:

Необходимость доказана. (для ).

Теперь можно, как следствия доказанных теорем 3.1 и 3.2 сформулировать:

Критерий устойчивости по входу.

Устойчивость по входу имеет место, если выполняются 2 условия:

1. - что соответствует условию строгой реализации (называется условием строгой реализуемости) ;

2. имеет корни только с отрицательными вещественными частями ( называется условием устойчивости характеристического многочлена).