
- •Операторный метод анализа линейных систем. Введение. Основные понятия теории управления.
- •Операторный метод анализа линейных систем.
- •Описание элементов системы.
- •Уравнения элементов.
- •Передаточная функция.
- •Весовые и переходные функции звена.
- •Характеристики типовых звеньев.
- •Описания систем.
- •Структура и структурная схема системы.
- •Соотношения «вход - выход».
- •2. Структурные представления.
- •Устойчивость.
- •Устойчивость звена по входу.
- •Алгебраические критерии устойчивости.
- •Устойчивость по начальным условиям.
- •4. Устойчивость системы.
- •Установившаяся реакция и частотная характеристика.
- •Определение реакции при гармоническом воздействии.
- •Анализ типовых структур.
- •Соединения с отрицательной обратной связью.
- •Обобщенный критерий Найквиста.
-
Характеристики типовых звеньев.
-
Идеальный усилитель
(1.11);
-
Интегратор
(1.15);
-
Апериодическое звено
(1.16);
-
Колебательное звено
при 0<k<1 (1.17)
-
Идеальный усилитель
(1.11)
Рассмотрим
-
дельта функция Дирака.
Пусть
δ*(t,
a)
=
;
и тогда
– импульсная
функция;
а
Найдем
изображение по Лапласу от
:
(при
)
1 = ℒ(δ(t)) (1.12).
Определим
теперь
весовую функцию из равенства:
В
изображениях:
,
значит
;
;
Получим,
что весовая функция
; (1.13)
Найдем теперь:
;
Перейдем к изображениям:
,
Докажем,
что:.
Следовательно:
Одновременно
установлено соотношение между
и
.
и
(1.14)
,
a
.
-
Интегратор
(1.15);
Звено
осуществляет интегрирование входного
сигнала к
(1.15’)
В
изображениях по Лапласу:
;
,
,
Тогда
определяет
,
Следовательно
.
.
-
Апериодическое звено
(1.16);
В изображениях по Лапласу:
=>
,
– передаточная
функция.
;
по теореме смещения:
;
значит
-это
весовая функция апериодического звена.
;
(1.16’)
-
Колебательное звено
при 0<k<1 (1.17)
выбирается
чтобы характеристическое уравнение
имело только комплексные корни.
;
0<k<1;
;
Где
,
.
Найдем
весовую функцию
:
;
;
;
Тогда
;
.
Теперь
положим
,
тогда
;
;
;
.
Воспользуемся теоремой о смещении:
;
(1.17)
Т.к.
,
то имеем:
h(t)
.
Найдем теперь
;
.
-
Описания систем.
-
Структура и структурная схема системы.
Перейдем к описанию систем, состоящих из взаимосвязанных звеньев. Для i-го звена:
вход
,
выход
и тогда:
(2.1)
(2.2)
Взаимосвязь между звеньями:
или
в более общем виде:
Где
- внешнее воздействие не связанное с
системой на i-ое
звено,
,
0 – если к-ое звено не связано с i-ым;
1 – в зависимости от знака воздействия к-го звена на i-ое .
Определение:
число
не нулевых
называется плотностью
связи
i-го
звена.
Если плоскость невелика, то удобно использовать описание с помощью структурных схем, использующих язык теории графов. Каждое звено – прямоугольник, входное воздействие (->) в него, выходное (->) из него. Внутри прямоугольника или номер, или переходная функция. Операторы суммирования – изображены кругом, причем при отрицательной связи, около стрелки ставится (-).
Пример структурной схемы:
Запишем систему в виде уравнений:
.
-
Соотношения «вход - выход».
При
изучении систем чаще всего интересует
значение связи между внешними входами
и выходами звеньев. Эти связи легче
устанавливаются, если перейти к
- образам.
Тогда, при нулевых начальных условиях, получаем:
Это
С.Л.А.У. с помощью, которой можно неизвестные
выразить через
- образы внешних входов
.
Рассмотрим пример, как реальное
физическое устройство может быть изучено
по предложенной выше схеме.
Пример:
электромотор редуктор
ротор
вал
Запишем все основные соотношения из электричества и динамики (ТМ) для объектов этой системы
-
- подается из преобразователя информации на усилитель и образуется
Напряжение,
подаваемое на электродвигатель
постоянного тока.
-
Известно, что если
- индуктивность обмоток ротора,
- сопротивление цепи ротора, то формируется сила тока
связана с подаваемым напряжением
следующим образом:
,
где
- противоЭДС возникающее из-за индуктивности
катушки;
D-дифференциальный оператор.
,
где
-угловая
скорость;
– коэффициент.
-
Известно также, что момент ротора
пропорционален возникающей в его цепи силе тока
-
Теперь необходимо записать известные из ТМ уравнения движения (вращения) оси ротора и вала нагрузки. При этом надо учитывать передающееся через редуктор момент на вал нагрузки
и обратно – момент противодействия нагрузки на ось ротора
. Если r – коэффициент редуктора, то тогда
и точно также связаны углы поворота и углы скорости оси ротора
,
и вала нагрузки
и
.
-
Записываем уравнение динамики вращательного движения:
-
для ротора
-
для вала
(
- внешний момент, приложенный к валу)
Исключим
из этих уравнений
=
=
.
Теперь
все соотношения можно изобразить в виде
структурной
схемы:
(-)
ip
(-)
Самостоятельная
работа.
Как правило, не используется модель
абсолютной жесткости редуктора, тогда
вместо
,
вводим нагрузки
– т.е. момент редуктора пропорционален
разности углов поворота. При этом
сохраняется
.
Задание: изменить соотношения и составить новую структурную схему.
Найдем
теперь зависимость в виде формулы угла
поворота
от внешних входов
и
.
Все ранее встречаемые уравнения запишем
в образах по Лапласу (аргумент)
,
,
,
.
Осталось
исключить
.
Раскрываем
скобки и находим
.
Получить
аналогичную зависимость
от
и
для случая упругого редуктора.
Найдем
теперь явную зависимость угла поворота
вала
от внешних входов
и
.
Для этого все уравнения (П 1.) перепишем
в
- образах( аргумент р
– опускается, переходим к большим
буквам).
(П
1.2.3’)
(П
1.1)
(П
1.9)
(П
1.3)
,
но из (П 1.6)
,
а из (П 1.8.8’)
;
тогда:
(П
1.10)
(П
1.4)
,
(П
1.11)
Система
( П 1.9,10,11) – это система из которой
исключением
и
можно найти выражение
через
и
.
Сначала
исключим
(П
1.9)
Теперь
исключим из (П 1.11) и (П 1.12)
и получим:
(П
1.13),
где
и
- дробно-рациональные функции. В
знаменателях, которых – многочлен 4-ой
степени, числитель
,
а числитель
- многочлен 3-ей степени (получить
самостоятельно).
Эти
соотношения упрощаются, если
,
(абсолютно жесткий редуктор), тогда:
где
;
.
Если
кроме того пренебречь самоиндукцией
цепи ротора
,
то получим передаточную функцию совсем
простого вида:
Запишем в общем виде правила решения С.Л.А.У в изображениях.
Пусть система состоит из N звеньев, тогда:
(2.6)
Применяя к (2.7) правило Крамера:
(2.9)
– определитель
системы (2.7)
Т.к.
(2.8) относительно
обычное СЛАУ, тогда введем такие
обозначения:
-
алгебраическое дополнение к-го элемента
i-го
столбца той же матрицы.
Обозначим:
(2.10)
;
(2.11)
Определение:
назовем переходной
функцией
от к-го внешнего вход к i-мн
выходн. Используя теорему о ввертке:
– весовые
функции, соотв.
.
Все переходные функции – дробно-рациональные функции.
-
характеристический многочлен системы
.
Путь
-внешний
выход системы.
Тогда :
Где
-
переходные функции внешнего входа к
внешнему выходу, тогда, запишем (2.12) в
виде:
Приведем пример перехода от исходного описания к 1 дифференциальному уравнению.
Пример: рассмотрим систему, состоящую из 2-х звеньев.
Переходим к
Сокращаем на D-1.
Если сократить, то получим:
Если не сокращать, то получим:
Возникает
проблема: когда модели А и В эквивалентны.
Очевидно, условием эквивалентности
является условие существования обратного
оператора
.
Условием существования обратного оператора является то, что оператор имеет нулевое ядро. Тогда это ядро f можно определить решив уравнение:
Тогда решением дифференциального уравнения будет:
Тогда f = 0, если c = 0 значит, ядро будет нулевым при начальных условиях f(0)=0.
Модели А и В эквивалентны только для нулевых начальных условий. Тогда решения А и В будут одинаковыми.
Вывод: работая с аналогом дифференциальных операторов: степенями p ненужно забывать о необходимости при сокращении обратных операторов сокращенных выражений.