Екзаменаційний білет № 11 Розподіл електронів за енергіями в твердому тілі.

Спочатку цей розподіл було знайдено чисто експериментально Фермі та Діраком. . Електрони в твердому тілі не можуть мати довільні значення енергії, а повинні займати лише певні дозволені квантові стани. Густина цих станів згідно теоретичним висновкам Фермі та Дірака пропорційна (1)

Тобто ця залежність має вигляд параболи.

Маємо метал, при Т=0 К. На межі із зовнішнім середовищем у нього, як ми вже знаємо, є потенціальний бар’єр (домовимось, що нуль потенціальної енергії електронів співпадає з дном потенційної ями). Згідно принципу заборони – на дно потенційної ями можна розмістити лише два електрони з кінетичною енергією, що дорівнює нулю. Будь-які наступні пари електронів можна розмістити в потенціальній ямі лише тоді, коли їх кінетична енергія буде мати зростаючі значення.

Таким чином, при температурі абсолютного нуля ймовірність ω заповнення електронами кожного енергетичного рівня (стану) однакова й дорівнює 1. Отже, залежність ω від Е має вигляд прямокутника (див. рис.).

Фермі – Дірак дають таку формулу для ω(Е):

(2),

де С – деяка стала.

.

(3)

Вид функції розподілу за Максвеллом - Больцманом такий

(4),

де k – стала.

Тобто крива розподілу частинок за енергіями в статистиці Максвелла – Больцмана й Фермі – Дірака зовсім не схожі (див. рис.). Кількість вільних електронів в металі дуже велика (якщо атом має лише один валентний електрон).

Але ці електрони заповнюють в металі вдвічі меншу кількість енергетичних рівнів (тому що на одному рівні можна мати 2 електрони). Причому остання пара електронів (вона має саму високу енергію) утворює енергетичну межу на рівні (див. рис.). Вище цього рівня при Т=0 (а ми розглядаємо саме цей випадок) немає жодного електрону. Ось ця максимальна енергія електронів в металі при температурі абсолютного нуля є енергією Фермі, або рівнем Фермі. Згідно з Фермі – Діраком, маємо також формулу:

(5)

це формула для Т=0. В цій формулі ступінь виродження g атомного рівня дорівнює 2.

(6)

Це і є остаточний вигляд функції розподілу електронів за енергіями в металі, що одержана Фермі – Діраком.

Якщо Т>0, то, як видно з формули (6), крива f(E) повинна спадати по експоненційному закону. Але через те, що f(E) одержано за участю ω(Е), то при Т>0 і ω(Е) повинна вести себе так само. При дуже великих температурах ці криві будуть схожі на аналогічні криві для газових частинок. Але при температурах, що у фізиці твердого тіла вважаються за високі (2000÷3000 К), різниця між суцільними й розривними кривими не така вже й велика. Наприклад, при Т=2500 К приріст до складе всього лише десяті долі еВ (кТ=8.625*10^-5 *2500=0.21 еВ).

Залежність енергії Фермі від температури дається такою формулою:

, (7)

де

(8)

Температура є критичною температурою виродження газу. Це температура при якій стан електронного газу починає підпорядковуватись статистиці Максвелла – Больцмана. Це Т>50000 К. Якщо Т<, то газ є сильно виродженим. Це означає, що для даного газу хоча б в певному інтервалі енергій число частинок dN приблизно дорівнює числу можливих станів dZ. А бо по іншому: газ називається невиродженим, якщо кількість електронів dN для будь-якого енергетичного інтервалу dE набагато менша числа можливих станів dZ, тобто dN<<dZ, або ω(Е)<<1.

Електронний газ в звичайних умовах є сильно виродженим, бо для нього =70 000 К. А ось протонний газ не є виродженим, бо для нього ~1 К (підставити в формулу (8) дані для m_p та n_p з довідки).

Аналіз рис. 1 дозволяє зробити такі висновки:

1. в твердому тілі високоенергетичних електронів більше, ніж низькоенергетичних;

2. при підвищенні температури концентрація електронів, що мають малу енергію, не змінюється, так само, як не змінюється їх енергія, а ось високоенергетичні електрони набувають ще більш високої енергії;