-
Экстремум функции нескольких переменных
Необходимые условия экстремума.
Если f(x; y) дифференцируема в точке (x0; y0) и имеет экстремум в этой точке, то ее дифференциал равен нулю:
(18)
Точка (x0; y0) называется стационарной точкой функции f(x; y). Обозначим
,
,
,
.
Достаточные условия экстремума.
1.
Если
и
,
то (x0;
y0)
– точка максимума.
2.
Если
и
,
то (x0;
y0)
– точка минимума.
3.
Если
,
то (x0;
y0)
не является точкой экстремума.
4.
Если
,
то точка М0(x0;
y0)
может как быть, так и не быть точкой
экстремума, поэтому требуется
дополнительное исследование
(сомнительный случай).
Пример 7.1.
Найти
экстремум функции
.
Решение.
;
.
Получили
две стационарные точки: М1(0;0)
и М2(1;
).
Исследуем эти точки на достаточность
условий экстремума. Определим частные
производные
;
;
.
Теперь
для каждой точки определим A,
B,
C,
.
1)
М1(0;0):
,
,
,
.
Т.к.
,
то в точке М1(0;0)
экстремума нет.
2)
М2(1;
):
,
,
,
.
Т.к.
и
,
то М2(1;
)
- точка минимума.
Ответ:
Задачи для самостоятельного решения:
Исследовать на экстремум функцию z=f(x; y).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
,
(x>0, y>0)
9.
10.
.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Письменный Д. Т.
Конспект лекций по высшей математике : полный курс / Д. Т. Письменный . - 9-е изд. - М.: Айрис-Пресс, 2008. – 280с.- Ч. 1.
2. Пискунов Н. С.
Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для вузов/ Н. С. Пискунов. - изд. стер.. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 415 с. Т.1.
3. Лунгу К.Н.
Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие / К.Н.Лунгу и др.- 7-е изд..- М.: Айрис Пресс, 2008.- 574 с.
4. Шипачев В. С.
Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев. - 8-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2008. - 304 с.: ил.
5. Данко П. Е.
Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова . - 6-е изд..-М.: ОНИКС.- 2008 .-368 с.- Ч.1.