5 Производные сложных функций
Пусть z=f(x; y) дифференцируемая функция двух переменных x и y, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимой переменной t:
x=x(t); y=y(t).
z(x(t); y(t)) – сложная функция; x=x(t) и y=y(t) – промежуточные функции. Если они дифференцируемы, то
.
(10)
Производная, найденная по этой формуле, называется полной производной.
Частный
случай, когда t
совпадает
с одним из аргументов, скажем t=x,
а
.
Тогда
является сложной функцией переменной
x
и
.
(11)
Рассмотрим более сложный случай, когда каждая из переменных х и у, в свою очередь, зависит от двух независимых параметров u и v.
Пусть z=f(x; y), x=x(u; v), y=y(u; v) - дифференцируемые функции своих аргументов. Тогда
и
.
(12)
Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных. Например, если w=f(x; y; z), где x=x(t), y=y(t), z=z(t), то
.
(13)
Пример 5.1.
Найти
производную сложной функции
,
,
.
Решение.
Здесь
z
сложная функция одной независимой
переменной t.
По формуле
найдем искомое значение
,
для этого вычислим все необходимые
частные производные: 
, 
;
, 
.
Тогда 
.
Пример 5.2.
Найти
производную сложной функции
,
,
.
Решение.
Здесь z сложная функция двух переменных x и y, каждая из которых
зависит
от двух переменных u
и v.
Найдем все необходимые частные
производные: 
, 
;
, 
;
, 
.
Теперь подставим все найденные значения в формулы:
=
+
;
=
+
.
Пример 5.3.
Найти
производную сложной функции
,
.
Решение.
Здесь z сложная функция одной независимой переменной x.
Используем
формулу
.
.
Задачи для самостоятельного решения:
-
Найти
,
если
,
где
,
. -
Найти
,
если
,
где
. -
Найти
и
,
если
,
где
,
. -
Найти
,
если
,
где
. -
Найти
,
если
;
;
.
-
Найти
,
если
;
;
. -
Найти
,
если
;
;
. -
Найти
и
,
если
;
;
. -
Найти
и
,
если
;
;
. -
Найти
и
,
если
;
;
.
-
Производная по направлению. Градиент
Частные
производные
и
представляют собой производные от
функции z=f(x;
y)
по двум
частным направлениям осей Ox
и Oy.
Пусть
z=f(x;
y)
– дифференцируемая функция в некоторой
области D,
D.
Пусть
-
некоторое направление (вектор с началом
в точке M0),
а
- орт этого направления.
,
(14)
при
этом если вектор
=
,
то координаты орта (направляющие
косинусы) можно найти по формулам:
,
,
где
.
Теорема. Производная по направлению, касательному к линии уровня поверхности z=f(x; y), равна нулю.
По аналогии можно определить производную по направлению для функции трех переменных u=f(x; y; z):
,
(15)
где
- орт направления
.
Градиентом
функции z=f(x;
y)
(скалярного поля) называется вектор с
координатами
,
.
Обозначение
.
(16)
Производная
по направлению
равна скалярному произведению векторов
градиента и орта направления
:
.
(17)
Пример 6.1.
Вычислить
производную функции z=2x²+xy
в точке М(-1;
2) в направлении вектора
=3i+4j
и градиент.
Решение. Найдем значение частных производных в точке М.
;
.
;
.
Вычислим
направляющие косинусы
=3i+4j
; 
.
Тогда: 
;
.
.
.
Ответ:
;
.
Задачи для самостоятельного решения:
Даны:
функция z=z(x;
y),
точка A
и вектор
.
Найти:
а)
в точке A;
б)
производную в точке A
по направлению вектора
.
1.
z = ln(5x+3y); A(2;2);
=
.
2.
z = arctg
;
A(2;1);
=
.
3.
z =
;
A(2;1);
=
.
4.
z =
;
A(2;−1);
=
.
5.
z
= arcsin
;
A(1;2);
=
.