3 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
Частной
производной функции z=f(x;
y)
по переменным x
и y
называется предел отношения
соответствующего частного приращения
или
к приращению данной переменной при
условии, что приращение переменной
стремится к нулю:
,
(1)
.
(2)
Из определения следует, что производная функции нескольких переменных определяется как производная функции одной из переменных при фиксированных значениях всех других переменных. Поэтому все правила и формулы дифференцирования, выведенные для функции одной переменной, сохраняются и для частных производных функции нескольких переменных. Следует помнить только одно правило: если по одной переменной дифференцируем, то остальные считаются постоянными.
Полным дифференциалом функции z=z(x; y) называется выражение
,
(3)
а полный дифференциал функции u=u(x; y; z) будет определяться по формуле
.
(4)
При
малых
и
полное приращение
отличается от полного дифференциала
на бесконечно малую величину высшего
порядка от
.
Этим пользуются в приближенных
вычислениях:
.
Отсюда, можно записать следующую формулу
.
(5)
Пример 3.1.
Найти частные производные и полный дифференциал функции
.
Решение.
;
.
.
Пример 3.2.
Найти
частные производные и полный дифференциал
функции
.
Решение.
;
.
.
Пример 3.3.
Найти
приближенное значение числа
.
Решение.
Число
есть частное значение функции
.
Известно, что
.
Поэтому, принимаем
,
.
Тогда
,
.
Значение
вычислим при помощи формулы (5). Найдем
частные производные в точке (2;0):
;
.
;
.
;
.
Ответ: 4,24.
Задачи для самостоятельного решения:
Найти частные производные и полный дифференциал функций:
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
Вычислить приближенно:
11.
15.
12.
16.
13.
17.
14.
Показать, что функция удовлетворяет уравнению
18.
;
.
19.
;
.
4 Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков
Частными производными второго порядка от функции z = f(x; y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка, также являющихся дифференцируемыми функциями.
-
вторая частная производная по x;
-
вторая частная производная по y;
и
- смешанные частные производные второго
порядка.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков, например:
Теорема Шварца. Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они равны между собой. Другими словами, результат смешанного дифференцирования не зависит от порядка:
.
(6)
Вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка для функции z называется выражение
,
где
,
.
(7)
Дифференциалы высших порядков определяются по аналогии:
.
(8)
Выражение
для
формально можно записать в виде,
напоминающем формулу бинома Ньютона:
.
(9)
Пример 4.1.
Найти
частные произвольные второго порядка
функции
.
Решение.
.
;
Пример 4.2.
Проверить,
что
для функции z=ln(x2
- y2
+ 3).
Решение. Найдем частные производные:
Действительно, смешанные частные производные второго порядка равны между собой.
Задачи для самостоятельного решения:
Дана функция z=f(x; y). Проверить, удовлетворяет ли она данному уравнению:
1.
;
.
2.
;
.
3.
;
.
Дана функция z=f(x; y), найти значения указанных выражений:
4.
;
.
5.
;
.
Найти
:
6.
10.
7.
11.
8.
12.
9.
13.
Дана
функция u.
Найти
.
14.
.
15.
.
16.
.