Основы теории зубчатого зацепления

Профили зубьев пары колес должны быть сопряженными, т. е. заданному профилю зуба одного колеса должен соответство­вать вполне определенный профиль зуба другого колеса. Чтобы обеспечить постоянство передаточного числа, профили зубьев зацепления нужно очертить такими кривыми, которые удовлетворяли бы требованиям основной теоремы зацепления.

Для доказательства теоремы рассмотрим пару сопряженных зубьев в зацеплении (рис. 85). Профили зубьев шестерни и колеса касаются в точке S, называе­мой точкой зацепления. Центры вращения Ο₁и О₂ рас­положены на неизменном расстоянии а _ω друг от друга. Зуб шес­терни, вращаясь с угловой скоростью ω₁, оказывает силовое действие на зуб колеса, сообщая последнему угловую скорость ω₂. Проведем через точку S общую для обоих профилей касатель­ную ТТ и нормаль NN. Окружные скорости точки S относительно центров вращения Ο₁и О₂ определяться как v₁ и v₂.

Рис. 85. Схема к доказательству основной теоремы

Разложим и на составляющие и по направлению нормали NN и составляющие и по направлению касательной ТТ. Для обеспечения постоянного касания профилей необходимо соблюдение условия = в противном случае при < зуб шестерни отстанет от зуба колеса, а при > произойдет вреза­ние зубьев. Опустим из центров Ο₁и О₂ перпендикуляры Ο₁Β и О₂С на нормаль NN.

Основная теорема зацепления.

Из подобия треугольников ΔaSe и ΔBSO₁ / = 0₁B/0₁S, откуда

Из подобия треугольников ΔaSf и ΔCSO₂ / = O₂C/O₂S, отку­да Но = , следовательно, ω₁·O₁B = ω₂·O₂C.

Передаточное число

Нормаль NN пересекает линию центров Ο₁Ο₂ в точке П, назы­ваемой полюсом зацепления. Из подобия треугольников ΔО₂ПС и ΔΟ₁ΠΒ

Сравнивая отношения (1) и (2), получаем

Таким образом, основная теорема зацепления формулирует­ся: для обеспечения постоянного передаточного числа зубчатых колес профили их зубьев должны очерчиваться по кривым, у кото­рых общая нормаль ΝΝ, проведенная через точку касания профи­лей, делит расстояние между центрами Ο₁Ο₂ на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Полюс зацепления Π сохраняет неизменное положение на линии центров О₁О₂, следовательно, радиусы r_w1 и r_w2 также неизменны.

Окружности радиусов r_w1 и r_w2 называют начальными. При вращении зубчатых колес начальные окружности перекаты­ваются друг по другу без скольжения, о чем свидетельствует равенство их окружных скоростей ω₁ r_w1 = ω₂ r_w2, полученное из формулы (13.3).

Вытекающее из формулы равенство окружных ско­ростей свидетельствует о том, что при вращении зацепленных зубча­тых колес окружности радиусов r_w1 и r_w2 перекатывают друг по другу без скольжения. Эти окружности называются начальными, а соответ­ствующие им цилиндры в цилиндрической зубчатой передаче и конусы в конической зубчатой передаче — начальными цилиндрами и началь­ными конусами.

Из вышеизложенного следует, что начальная окружность проходит через полюс зацепления и катится по другой начальной окружности без скольжения. Диаметр начальной окружности обозначается d_w и назы­вается начальным диаметром зубчатого колеса.

Из всего многообразия сопряженных профилей зубьев наиболее распространены эвольвентные, которые отличаются простотой и удоб­ством изготовления зубьев и допускают возможность изменения в известных границах межосевого расстояния передачи без нарушения правильности зацепления зубчатых колес. Профили зуба эвольвентного зацепления образуются двумя симметричными эвольвентами.

Эвольвентой называется кривая, описываемая какой-либо точкой, лежащей на прямой линии, пе­рекатываемой по окружности без скольжения. Перекатываемая по окружности прямая называется производящей прямой, а окружность, по которой перекатывается производящая прямая,— основной окруж­ностью.

Рис. 86.