Краткие сведения о контактных напряжениях

Контактные напряжения возникают при взаимодействии тел, размеры площадки контакта которых малы по сравнению с размерами самих соприкасающихся тел: например, контакт двух стальных круговых цилиндров по общей образующей, рис. 76 (аналог зубчатого зацепления, фрикционной передачи, роликовых подшипников), контакт шара и тора (шариковые подшипники качения).

Контакт при перекатывании в передачах и опорах качения происходит по малым площадкам (начальный контакт по линии или в точке), вследствие чего в поверхностном слое возникают высокие напряжения. Материал в районе этой площадки испытывает объемное напряженное состояние. Впервые исследованием контактных напряжений занимался физик Герц (Hertz). В его честь контактные напряжения обозначают с индексом Н: σ_H.

Контакт ненагруженных прижимающей силой цилиндров с параллельными осями происходит по линии (по образующей). Под действием прижимающей силы F_n, вследствие упругих деформаций цилиндров (рис.76) первоначальный контакт по линии переходит в контакт по прямоугольной площадке (очень узкой полоске) шириной 2а. Размеры площадки контакта и возникающие нормальные напряжения σ_H зависят от нагрузки F_n, упругих характеристик материалов (коэффициентов Пуассона, модулей упругости) и формы контактирующих тел. Как показывают исследования, в поперечном сечении по площадке контакта напряжения изменяются по эллиптическому закону, достигая максимального значения σ_Hmax в зоне максимальных деформаций - по линии действия прижимающей силы (выносной элемент А). Особенностью действия нормальных контактных напряжений является то, что они не распространяются глубоко в тело деталей, сосредотачиваясь в тонком поверхностном слое.

Кроме нормального напряжения σ_H в зоне контакта возникают также касательные напряжения τ. Наибольшее касательное напряжение τ_mах = 0,3а σ_Hmax имеет место в точке, расположенной на линии действия прижимающей силы F_n и отстоящей от поверхности соприкосновения на 0,78а.

Числовые значения контактных напряжений намного превышают как значения других видов напряжений (растяжения, изгиба), так и механических характеристик материала при одноосном напряженном состоянии: σ_т и σ_Β. Так, в подшипниках качения σ_Hmax = 4600 МПа, в то время как для применяемой стали марки ШХ15 предел текучести σ_т = 1700 МПа, временное сопротивление σ_Β = = 1900 МПа. Отсутствие мгновенного разрушения при наличии столь высоких напряжений объясняют тем, что в зоне их действия материал находится в условиях всестороннего объемного сжатия.

Рис. 76.

Максимальное значение σ_Hmax используют в качестве основного критерия контактной прочности:

σ_Hmax ≤ [σ]_H, (12.9)

где [σ]_H - допускаемое контактное напряжение, полученное из эксперимента или опыта эксплуатации при аналогичных условиях в зоне контакта.

Для случая сжатия двух цилиндров можно воспользоваться формулой Г. Герца (H.Hertz. 1857...1894 гг.), которую талантливый немецкий физик-экспериментатор в 1881 г. предложил для определения максимального значения контактных напряжений, полученную из решения контактной задачи теории упругости (индекс "max" при этом опускают):

где b - длина линии контакта (длина цилиндров); μ₁, μ₂ - коэффициенты Пуассона материалов контактирующих тел;

Е₁,Е₂- модули упругости материалов;

ρ₁, ρ₂ - радиусы кривизны контактирующих поверхностей.

Для контакта двух выпуклых поверхностей:

Для контакта выпуклой и вогнутой поверхностей:

В общем виде

Формула Герца выведена при следующих допущениях:

- материалы соприкасающихся тел однородны и изотропны;

- прижимающие силы направлены по прямой, соединяющей центры кривизны поверхностей тел в точке первоначального касания, и таковы, что в зоне контакта имеют место только упругие деформации;

- силы трения в контакте отсутствуют;

- поверхности тел совершенно гладкие и идеальные по форме;

- на контактирующих поверхностях отсутствует смазочный материал; .

- длина цилиндров бесконечно большая.

Контактные напряжения сжатия σ_H для фрикционных колес из стали и других материалов определяют по формуле Герца:

где q — номинальная нагрузка на единицу длины контактной площад­ки колес; Ε — приведенный модуль упругости материалов колес; ρ — приведенный радиус кривизны колес. Расчетная погонная нагрузка

где k = 1... 1,3 — коэффициент неравномерности распределения на­грузки по длине контактной площадки; k принимается тем меньше, чем точнее изготовлена и смонтирована передача; b — длина контактной площадки.

При проектном расчете по контактным напряжениям формулу (12.12) обычно преобразуют так, чтобы можно было определить диаметр меньшего колеса d₁. Задавшись отношением ψ=b/d из формул находим требуемый диаметр d₁ меньшего колеса цилиндрической фрикционной передачи (рис. 75, а):

где [σ_н] — допускаемое контактное напряжение на сжатие для фрик­ционных колес.

После вычисления d₁ определяют длину контактной линии:

b = ψd₁ (12.15)

Проверочный расчет по контактным напряжениям сжатия фрик­ционных колес при начальном касании их по линии производят по формуле (12.12) при этом допускаемые контактные напряжения на сжатие рекомен­дуется принимать: для закаленных стальных колес с HRC ≥ 60 [σ_H] = 800... 1200 МПа, для текстолитовых колес (при модуле упругости текстолита E = 6· 10³ МПа) [σ_H] =80...100 МПа и для чугунных колес [σ_H] ≤ 1.5 σ_B, где σ_Β — предел прочности чугуна при изгибе.

В реальных изделиях длина линии контакта конечна, на поверхности контакта действуют силы трения, а сами поверхности смазаны. Возможность использования при этом приведенной формулы Герца обусловлена тем, что допускаемые напряжения [σ]_H находят экспериментально для условий, близких к условиям эксплуатации проектируемого изделия.

Рис. 77

Деформации микрообъемов материала в зоне контактного взаимодействия при качении, цилиндров схематично показаны на рис. 77: а — без нагрузки, б — под нагрузкой. Материал каждого из тел, контактирующих при свободном качении, подвергается циклическим нагружению и разгрузке по мере прохождения деформированной области (рис. 77). Выделенный микрообъем материала испытывает при этом цикл обратимого сдвига и сжатия A-B-C-D-E. Тем не менее, при относительно невысоких нагрузках материал ведет себя в макрообъемах как идеально упругое тело.