лабораторная работа / 2 практич

Балаковский институт техники, технологии и управления

Практическая работа №2

По дисциплине ТАУ

Вариант №7

Выполнила:

Ст. группы УИТ-31

Павлова Ю.С.

Проверила:

Мартынова И.В.

Балаково 2005

Цель работы: научиться определять устойчивость по критериям Гурвица, Рауса, Михайлова, Евсюкова.

Под устойчивостью системы понимается способность её самостоятельно возвращаться в состояние равновесия после вывода её из этого состояния и снятия всех возмущающих воздействий.

Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, то её устойчивость зависит только от знака вещественной части корней характеристического уравнения. Если уравнение 4-ого и более высокого порядка, то используют косвенные методы анализа устойчивости или критерии устойчивости, которые позволяют определить знаки корней, не решая самого уравнения.

1 необходимое условие устойчивости – все коэффициенты характеристического уравнения должны быть >0.

1) по критерию Гурвица:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительными

a₀pⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 + … + a_n-1p + a_n = 0;

p⁵+2p⁴+10p³+12p²+3p+6=0

Составим определитель Гурвица:

1=a₁=2>0

2=8>0

3=96>0

4=-192<0

Определители Гурвица разного знака, следовательно, система неустойчива.

2) по критерию Рауса:

Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первой графы таблицы Рауса были положительны. Таблица Рауса составляется по правилам:

1. в первой строке записываются коэффициенты a₀, a₂, a₄ (четные)

2. во второй строке записываются нечетные коэффициенты a₁, a₃, a₅

3. в третьей строке коэффициенты вычисляются:

где R₃=

4. в четвертой строке:

где R₄=

остальные i–n, j-n

R_j=

№ стр	R	1 ст	2 ст	3 ст
1		1	10	3
2		2	12	6
3	0,5	4	-15	0
4	0,5	19,5	6	0
5	0,205128	-16,2308	0	0
6	-1,20142	6	0	0
7	-2,70513	0	0	0

Коэффициенты первого столбца имеют разные знаки, следовательно, система неустойчива.

3) по критерию Михайлова:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до  повернулся против часовой стрелки, начиная с вещественной оси на число квадрантов, равной порядку характеристического уравнения, последовательно проходя эти квадранты.

L(j)=(j)⁵+2(j)⁴+10(j)³+12(j)²+3(j)+6=j⁵+2⁴-10j³-12²+3j+6

L(j)=U()+jV()=(6-12²+2⁴)+j(3-10³+⁵)

Построим годограф Михайлова:

Из графика видно, что нарушен порядок чередования квадрантов, следовательно, система неустойчива.

4) по критерию Евсюкова:

Позволяет определить какой коэффициент характеристического уравнения и как его определить, чтобы добиться устойчивости.

Необходимое условие устойчивости по Евсюкову заключается в выполнении следующих неравенств:

Т.о. необходимое условие устойчивости по Евсюкову не выполняется, значит система не устойчива. Нет необходимости проверять достаточное условие устойчивости.

Вывод: я научилась определять устойчивость по критериям Гурвица, Рауса, Михайлова, Евсюкова.