Из рисунка следует ,что

тогда Разложим элементарный вектор d на перпендикулярную dE=dEcos и параллельную dE=dEsin составляющие.

Вычислим

где

Искомая напряженность электрического поля и направлена под углом

Рассмотрим частные случаи электрического поля однороднозаряженной нити

1.Пусть n=1/2. В этом случае и E_II = 0

=0,т.е. расположено перпендикулярно к нити и следует для симметричного заряда

2. Поле полубесконочной нити

3. =0, перпендикуляр опущен на конец нити

,

4. Пусть ₁0,₂=/2 (рис.)

Соответственно, находим угол 

5 . Найдем напряженность поля на продолжении полубесконечной нити, когда а0 (рис.)

Для этого найдем

limE_=0, limE=, т.е. напряженность электрического поля на продолжении однороднозаряженной нити направлена вдоль прямой, совпадающей с полубесконечной заряженной нити.

Замечание: при малых b напряженность E может достигнуть больших величин, когда заряды будут перемещаться вдоль нити и условие =const не будет удовлетворено и поэтому имеются ограничения снизу на величину b

ЗАДАЧА 8. Пучок электронов, ускоренный разностью потенциалов в 30 В, влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам длиной 5 см. Напряженность электрического поля конденсатора 200 В/м. Определить угол отклонения пучка в результате его прохождения через конденсатор, а также полное, нормальное и тангенциальное ускорения электронов при вылете из конденсатора.

l=510^-2м Е=200В/м

q=Кm =9,1 10^-31кг

а - ?

а_n - ?

а_ - ?

Движение электрона разложим на два движения: вдоль осей х и у.

Вдоль оси х: Fx=0; а_х=0; Vx=Vo=const; x==V₀Х

Вдоль оси у: Fy = Fэ = const; Voy = 0; Vy = а_yt; y =

Согласно определению tq =

При вылете электрона из конденсатора

По второму закону Ньютона вдоль оси у

Согласно определению напряженности электрического поля

Тогда

Согласно связи работы силы с изменением кинетической энергии (теореме о кинетической энергии) работа ускоряющего электрона электрического поля А_э =w_k= w_ko

По формуле работы электрического поля A_э=q

По формуле кинетической энергии

Поэтому

Полное ускорение электрона

Треугольник ускорений подобен треугольнику скоростей, поэтому угол между a„ и а равен а. Из треугольника ускорений следует:

З АДАЧА 9. Два одинаковых шарика повешены на нитях так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда 410^-7 Кл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на yгол 60 . Найти массы шариков и силу натяжения нитей, если расстояние от точки подвеса до центра шарика 20 см.

R₁ = R₂ = R

m₁ = m₂=m

q₀=410^-7 Кл

 = 60^

l = 20 см

m - ?

F_н - ?

По условию равновесия

В проекции на ось X это условие имеет вид

Применяя теорему Остроградского - Гаусса, можно показать, что электростатическое поле заряженного шарика радиусом R на расстояниях r R можно рассматривать как электростатическое поле точечного заряда, по величине равного заряду шарика и расположенного в центре шарика. Кроме того, на расстояниях r  R, когда можно пренебречь электростатической индукцией, электростатическое взаимодействие заряженных шариков подчиняется закону Кулона. Поэтому

Расстояние между зарядами

По закону сохранения электрического заряда q_o = q₁ + q₂.

По определению электроемкости проводника q₁=C₁_1; q₂=C₂₂

Электроемкости шариков

C₁ = 4; C₂=4₀R₂ = 4₀R = C₁

Соприкасающиеся шарики представляют собой один проводник, поэтому

₁=₂.

Т огда q₁=C₁₁; q₂=C₂₂=C₁₁=q₁; q₀=2q₁=2q₂; q₁=q₂=0.5q

В проекции на ось Y условие равновесия имеет вид

F_н/2 - mq = 0; F_нсоs/2 = mg;

Отсюда

Задача 10. Эбонитовый сплошной шар радиусом 5 см находится в воздухе равномерно (однородно) распределенный с объемной плотностью 10 нКл/м³. Определить зависимость напряженности, вектора индукции и потенциала электрического поля от расстояния до центра шара и, в частности, в точках на расстоянии от центра шара: 1)3 см; 2) 5 см; 3) 10 см. Изобразить графики E(r), D(r), (r).

Дано:

Решение. Для сферически симметричного заряда напряженность на расстоянии r от центра заряда определим по формуле

1. На расстоянии r₁ заряд, , a

(внутри шара )

или, вычисляя, получим Е(r₁)=3,76 В/м.

Индукция магнитного поля

2. Аналогично определим величину векторов и на поверхности шара (r₂ = R + 0). Заряд внутри шара с радиусом r₂ = R

а

(напомним, что ), вычисляя, получим

Индукция электрического поля

3. Вне эбонитового шара на расстоянии 10 см от центра шара

Вычисляя, получим

На графике (рис.) напряженность Е в точке r₂ = R терпит разрыв

Вектор индукции не терпит разрыва.

Потенциал и напряженность электрического поля связаны выражением

Внутри шара

а

Постоянную интегрирования с найдем из условия:

откуда следует, что

Вне шара

Потенциал  в точке r₂ = R терпит разрыв

Задача 11. Плоский воздушный конденсатор заполнили керосином и зарядили, сообщив ему энергию W₁. Затем конденсатор отсоединили от источника, слили керосин и разрядили. Какая энергия выделилась при разряде? Относительная диэлектрическая проницаемость керосина 2.

Выделившаяся при разряде энергия равна энергии электрического поля конденсатора

По условию задачи q₂ = q₁. После зарядки конденсатора энергия его электрического поля

Отсюда