Відстані від основи висоти піраміди

Відстань від основи висоти піраміди до бічного ребра — перпендикуляр, опущений із точки О на це ребро (див. рисунок). Зверніть увагу: , але  на рисунку не повинен бути прямим: кути при паралельному проектуванні не зберігаються. OF — відстань від основи висоти до бічного ребра SE; ON — відстань від основи висоти до бічної грані ASB (про цю відстань докладніше дивись нижче). , де  — кут між ребром SE і площиною основи.

Відстань від основи висоти до бічної грані

Нехай , тоді  за теоремою про три перпендикуляри. Отже, ABперпендикулярна до площини SOK. Звідси, якщо , то ON перпендикулярна до площини ASB. . Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром многокутника. Віссю правильної піраміди називається пряма, яка містить її висоту. Бічні ребра правильної піраміди рівні, бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані, проведена з вершини піраміди, називається апофемою. Вона є бісектрисою та медіаною бічної грані, оскільки та є рівнобедреним трикутником. Теорема. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему. ; , де Р — периметр основи, а — сторона основи, l — довжина апофеми. Правильна трикутна піраміда В основі правильної трикутної піраміди лежить рівносторонній трикутник, який зображується довільним трикутником (див. рисунок). Центром  є точка перетину його бісектрис, котрі водночас є висотами і медіанами. Медіани при паралельному проектуванні зображуються медіанами. Тому будуємо дві медіани основи. Точка їх перетину — основа висоти піраміди. Зображуємо висоту, а потім з’єднуємо вершину піраміди з вершинами основи. Отримаємо бічні ребра. На рисунку:  — кут нахилу бічного ребра до площини основи (однаковий для всіх ребер);  — кут нахилу бічної грані до площини основи (однаковий для всіх граней). Нехай . Тоді ; ; ; ; ; . Отже, . ; . Площина осьового перерізу ASD є площиною симетрії правильної трикутної піраміди. Ця площина перпендикулярна до площини основи і площини грані BSC. Цікаво також відмітити, що мимобіжні ребра піраміди (SA і BC, SB і AC, SC і AB) є перпендикулярними. Якщо , то ON є відстанню від основи висоти не тільки до анафеми, а й до бічної грані BSC. . Правильна чотирикутна піраміда В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат, який зображується довільним паралелограмом. Його центром є точка перетину діагоналей. Ця точка — основа висоти піраміди. Нехай сторона квадрата а (див. рисунок). Тоді ; ; ; ; . Зверніть увагу: , , тобто . При паралельному проектуванні паралельність зберігається. ; . Відстань від основи висоти до бічної грані: ; . Правильна шестикутна піраміда В основі правильної шестикутної піраміди лежить правильний шестикутник (див. рисунок). Його центром є точка перетину діагоналей. Ця точка — основа висоти піраміди. Тоді ; Нехай сторона правильного шестикутника а. ; ; . ; . Зрізана піраміда Зрізаною пірамідою називається многогранник, який залишиться, якщо від піраміди відділити площиною, яка паралельна основі, піраміду з тією ж вершиною. Теорема. Площина, яка паралельна основі піраміди й перетинає її, відтинає подібну піраміду. Зверніть увагу: щоб правильно зобразити зрізану піраміду, треба починати із зображення вихідної повної піраміди (див. рисунок). Основи зрізаної піраміди — подібні многокутники. Бічні грані — трапеції.  — висота зрізаної піраміди,  — висота бічної грані,  — кут нахилу бічного ребра до площини основи (будь-якої),  — кут нахилу бічної грані до площини нижньої основи. Правильна зрізана піраміда — це зрізана піраміда, яку дістали з правильної піраміди. Її бічні ребра рівні й нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом. Її бічні грані дорівнюють рівнобічній трапеції і нахилені до площини нижньої основи під одним і тим самим кутом. Висоти бічних граней піраміди називаються апофемами. Бічна поверхня правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ і апофеми. , де Pн і Pв — периметри відповідних основ, l — апофема. На рисунках зображені фігури, які буває дуже корисним розглянути при розв’язуванні задач на зрізану піраміду. ; .  ;    — прямокутна трапеція. — висота зрізаної піраміди.  — висота бічної грані. У випадку, коли зрізана піраміда правильна, відрізки OD і  є радіусами описаного кола, а OF і  — радіусами вписаного кола для нижньої і верхньої основи відповідно.