35. Нахождение обратной матрицы

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: .Теорема (необходимое и достаточное условие обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

Найти определитель исходной матрицы. Если , то матрица – вырожденная и обратной матрицы не существует.

Найти матрицу, транспонированную к данной.

4. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы.

5. Вычислить обратную матрицу по формуле: .

6. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, исходя из определении: .

.

36. Понятие определенного интеграла.

Предел от суммы при , если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции в пределах от до и обозначается:

37. Основные свойства определенного интеграла.

38. Основные условия интегрируемости функций.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема. Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем необходимо и достаточно, чтобы lim∣τ∣→0(Sτ−sτ)=0 (2.1).

Теорема. Функция определенная и монотонная на [a,b] интегрируема на нем.

Теорема. Если функция ограничена и непрерывна на отрезке, кроме, может быть, конечного числа точек, то она интегрируема на нем.

39. Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е. .Доказательство. Пусть - некоторая первообразная для функции . По теореме (если функция непрерывна на отрезке , тогда в каждой точке отрезка производная функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции ), т.е. функция , заданная формулой , также является первообразной для функции .

40. Формула Ньютона-Лейбница.

41.Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , , и функция непрерывна в каждой точке вида , где . Тогда справедливо следующее равенство .

42.Вычисление определенного интеграла по частям.

Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда .

43. Вычисление площади плоской фигуры.

Вычисление площадей плоских фигур. Рассмотрим несколько случаев вычисления площадей плоских фигур.

Пример. Сделать чертеж и вычислить площадь фигуры ограниченной данными линиями , .

			8
			6
			4
			2
-6	-4	-2	0	2	4	6
			-2

кв. ед.

44. Вычисление объема тела вращения.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой , осью абсцисс и двумя прямыми и , находится по формуле .

Пример. Найти объем тела, получающегося при вращении кривой вокруг оси от до .

куб. ед.

45. Вычисление длины дуги плоской кривой.

Если кривая на отрезке является гладкой (т.е. производная - непрерывная функция), то длина дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами и , находится по формуле .

46 Вычисление площади поверхности тела вращения.

Площадь поверхности, образованной вращением оси дуги гладкой кривой между точками и , находится по формуле .

47. Среднее значение функции. Интегральная теорема о среднем.

Если функция f(x; у) непрерывна на области Р, то существует такая точка (а; b) Р , что

Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями.

48. Интегрирование функций, имеющих разрывы второго рода.

Для установления сходимости или расходимости несобственных интегралов с бесконечным верхним пределом интегрирования часто используется следующий признак.

Пусть при справедливо неравенство , где и - непрерывные знакоположительные функции. Тогда:

1) если сходимости , то сходится ;

2) если расходится , то расходиться и .

Аналогичный признак сравнения имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций.