11. Разрывы функций. Классификация разрывов.

Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция определена в некоторой окрестности точки , но в самой точке не

удовлетворяет условию непрерывности.

Точки разрыва функции делятся на два типа:

1. к точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы , .

2. к точкам разрыва II рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Точки разрыва I рода подразделяются в свою очередь на точки устранимого разрыва (когда ) и точки скачка функции (когда ).

12. Производная функции. Геометрический смысл производной.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует): .Пусть на плоскости дана непрерывная кривая и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке рис 1.

Прежде всего, необходимо выяснить, что будет пониматься под касательной к кривой. Касательную нельзя определить как прямую, имеющую с кривой одну общую точку. В самом деле, прямая (1) на рис. 2 имеет одну общую точку с кривой (2), но не является касательной к ней. А прямая (3) на рис. 2 хотя имеет две общие точки с кривой (4), очевидно, касается ее в точке . Поэтому для определения касательной к кривой должен быть реализован другой подход.Дадим аргументу приращение и перейдем на кривой от точки к точке . Проведем секущую Уравнение прямой, проходящей через точку имеет вид .Угловой коэффициент (или тангенс угла наклона) секущей может быть найден из . Итак, угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке равен пределу углового коэффициента секущей , когда , т.е. .

13. Теоремы о производной суммы, произведения и частного.

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

Правило, очевидно, так как любое приращение постоянной функции равно нулю.

2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.

Пусть и - дифференцируемые функции. Найдем производную функции , используя схему вычисления производной.

Дадим аргументу приращение . Тогда функции и получат наращенные значения , , а функция - значение .

Находим приращение функции .

Составляем отношение .

Находим предел этого отношения при , т.е. .

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е. .

Пусть и - дифференцируемые функции.

Находим приращение функции .

Составляем отношение .

Находим предел этого отношения при , т.е. .

4. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле: .

14. Производная сложной и обратной функции (таблица). Понятие о логарифмической производной(порядок логарифмического дифференцирования. Показать на примере)

Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной , т.е. .

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е. .

.