5. Определение функции. Способы задания функции.

Определение. Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то говорят, что на множестве задана функция .

Основные свойства функции:

Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если .

1. Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

2. Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого .

3. Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых из области определения функции .

Способы задания функций:

1. Аналитический способ

2. Табличный способ

3. Графический способ

6.Классификация основных элементарных функций.

Основные элементарные функции:

1. Степенная функция: , , .

2. Показательная функция: .

3. Логарифмическая функция: .

4. Тригонометрические функции , , , .

5. Обратные тригонометрические функции: , , , .

Классификация функций:

• Алгебраические (целая рациональная функция, дробно-рациональная функция, иррациональная функция).

• Неалгебраические (трансцендентные).

7. Предел функции. Теоремы о пределах.

Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от; ), что для всех таких, что , верно неравенство: .

Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от; ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство: .

Теоремы о пределах:

Функция не может иметь более одного предела.

Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е. .

1. Предел произведений конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е. .

2. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е. .

3. Если , , то предел сложной функции .

4. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) , то .

8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.

Если значение функции стремится к числу по мере стремления к со стороны меньших значений, то число называют левосторонним пределом функции в точке и пишут .Если значение функции стремится к числу по мере стремления к со стороны больших значений, то число называют правосторонним пределом функции в точке и пишут .