шпоргалка / D1z_pr0

Получим:

(6)

Уравнение (6) связывает относительное изменение переменных, которые являются безразмерными. В такой форме уравнение (6) применимо к системам любой природы: механические, гидравлические, электрические.

Преобразование Лапласа и его свойства.

(1)

Соотношение (1), по которому функция вещественной переменной t ставится в соотношение функции комплексной переменной S называется преобразованием Лапласа.

(2)

L – Оператор Лапласа

Функция оригинала должна обладать свойствами:

1. должна быть определена на всей положительной полуоси, непрерывна и кусочно-дифференцируема.

2. Должно выполняться условие при

3. Должны существовать такие положительные числа, для которых выполняется условие

Обратный переход от изображения к оригиналу.

(3)

Свойство Лапласа

1. Свойство линейности

2. Изображение производной

3. Изображение интеграла

4. Теорема запаздывания

5. Теорема о свёртке

6. Свойство о предельных переходах

7. Теорема разложения

Передаточные функции в изображениях по Лапласу

(1)

Выражение (1) – линейная комбин. функция, поэтому для него справедливо 1-ое свойство преобразования Лапласа.

(2)

(3)

Пусть , то

(5)

- передаточная функция в изображении по Лапласу

Существует формальное правило: для получения передаточной функции по Лапласу достаточно заменить p на S.

S – Комплексная переменная.

, при U=0

(6)

Таким образом, можно получить уравнение системы в изображении по Лапласу.

(7)

Вывод уравнений звеньев автоматически.

Рассмотрим силовые отношения для механического звена с выходной координатой в виде перемещения.

Пусть в пространстве звено закреплено спец. образом на пружинных растяжках.

т. - центр масс звена

Положение т. определяется:

1. Массой пружины

2. Жесткость пружины

3. Количество и пространственное положение пружин

Любая конструкция и расположение пружин в пространстве обеспечивает как минимум одну устойчивую точку в которой звено находится в покое. Если в некоторый момент времени воздействовать на звено силой F, в направлении x, то выходная координата звена не будет равна равновесной .

Центр масс переместится в точку и главный вектор сил действующих на звено будет равен 0.

Равнодействующая сила стремящаяся вернуть звено в установившееся состояние называется восстанавливающей функцией звена .

(Чтобы вернулось в прежнее состояние)

В общем случае восстанавливающая сила связана с координатами x и y.

Для точки лежащей на равновесной характеристики восстанавливающая сила равна 0.

Для точки B у которой координата восстанавливающая сила больше 0. Для точки C у которой восстанавливающая сила меньше нуля.

Если изменять начальное условие, то равновесное положение звена будет другим. Бесконечно изменяя факторы (1,2,3) можно получить геометрическое место точек равновесного положения звена или кривую устойчивости. При снятии возмущающей силы звено устремиться в исходное положение каким-либо неизвестным способом. Необходимо вывести диф. уравнение движения звена, решить его и получить условие при котором звено возвращается в исходное состояние необходимым образом. Обозначим m – масса частей звена. Уравнение движения звена опишется вторым законом Ньютона. (1), где

- Восстанавливающая сила - Сила сопротивления

(2) - сила вязкого трения

(3) Исходное уравнение движения звена

Введем отклонение от устойчивого положения:

;; ; ; , где

x, y – текущее значение

x – входы, y – выходы координаты

, - отклонения текущего значения

, - значения координат равновесного состояния

Разложим восстанавливающую силу в ряд Тейлора как функцию двух переменных

(4)

Перепишем уравнение (3) с учетом (4)

(5)

Пусть ; ; ; ; ; ;

Перепишем (5) с учетом обозначений (6)

Коэффициент при второй производной выходной координаты имеет размерность время в квадрате, коэффициент при безразмерной выходной координате является безразмерной.

(7)

Выражение (7) линеаризованное уравнение звена второго порядка - постоянная времени характеризующая инерционность звена, численно равна половине квадрата времени необходимого для перемещения звена от исходного предельного до равновесного положения, при максимальной восстанавливающей силе и отсутствии сопротивления.

- постоянная времени характеризует величину сопротивления перемещению звена, численно равна времени равномерного перемещения звена от исходного предельного до равномерного положения с такой скоростью, при которой сила сопротивления достигнет максимального значения восстанавливающей силы. и всегда больше 0, может равняться 0 при отсутствии вязкого трения.

Рассмотрим установившееся положение звена.

; (8)

;

- коэффициент передачи, который характеризует, во сколько и насколько изменяется выходной сигнал звена при воздействии данного входного.

- коэффициент статистики

Перепишем уравнение (7)

(9)

Решение уравнения (9) получается в виде суммы общих и частных решений.

(10)

Выражение (10) характеризует свободное выражение звена, т.е. его поведение при отсутствии внешних воздействий.

(11)

и - постоянная интегрирования

и - корни характеристического уравнения

(12)

Передаточная функция в операторной форме

(1)

Уравнение (1) связывает выходную величину с входной с учетом производных на стержне второго порядка. В общем случае для систем уравнения: (2)

В выражении (2) U и z – это внешнее воздействие на систему. Для САУ справедлив принцип суперпозиции, согласно которому реакция системы на сумму внешних воздействий равна реакции системы. На каждое воздействие в отдельности.

Поэтому изучать САУ можно по уравнению: (3) или

(4)

Введем, оператор дифференцирования: , и т.д., получаем

(5)

(6)

- собственный оператор управляемой величины

- собственный оператор входного воздействия

Т.е. получим, что передаточная функция показывает как входная величина звена преобразуется во выходную.

Преобразование входной величины в выходную характеризуется также статич. коэф. , однако он хар-ет преобразование в статич. режиме, когда выполняется 2 условия

, т.е. в статическом режиме .

Линеаризация

Пусть функция непрерывна в окрестностях конкретной точки и имеет все производные. Тогда эта функция может быть разложена в ряд Тейлора.

(1)

Если задана функция двух переменных и она определена в окрестностях двух точек, то она также может быть разложена в ряд Тейлора.

(2)

Если выполняется условия (1) и (2) значит статическая характеристика может быть линеаризована. При линеаризации рассматриваются только малые отклонения для заданной точки .

Т.о. отклонение в степени становится пренебрежительно мало. Запишем выражение функции в окрестностях точки , (3)

Перейдём в выражении (3) к величинам входных и выходных сигналов ,

, (4) – линейное

Т.о. линеаризация заключается в замене нелинейной статич. характеристике линейной зависимостью в окрестностях некоторой точки . При динамич. процессе поведения СУ в общем случае описывается выражением.

(5).

Выражение (5) – функция нескольких переменных. В общем случае выражение (5) может быть сложным и нелинейным. Пусть функция непрерывна и определена в окрестностях заданной точки.

Разложим её в ряд Тейлора.

(6)

Введём обозначение

С учетом этих обозначений:

Учитывая выражение (5) перепишем выражение (7) в систему уравнений

(8)

Система уравнений (8) содержит только линейные операции, т.е. выполнена линеаризация исходного выражения (5). Система (8) справедлива только в окрестностях выбранной области переменной линиаризированное уравнение становиться неточным.

Тепловые динамические звенья автоматики

-Двигатели

-Датчики

-усилители

Практически для всех устройств, диф. уравнения которых имеют порядок не выше 2, можно записать.

(1)

В этом уравнении производная в левой части характеризует те обстоятельства, что на входное воздействие, но и на скорость его изменения и ускорения устройство любой природы, принципа действия и устройства описывающееся диф. уравнением ??? вида,

полученного на основе уравнения (1), и называется динамическим звеном.

Безинерционное или усилительное звено

В этом звене выходная величина в каждый момент времени пропорциональна входной величине.

(2)

- изображение

(3)

Инерционное звено

Звено, у которого при приложении какого-либо воздействия, реакция не сразу достигает конечного значения, а возрастает постепенно, в большинстве случаев по экспоненте.

Апериодическое звено первого порядка

(4)

(5)

Инерционное звено второго порядка

(7)

Интегрирующее звено

В нем в установившемся режиме линейная зависимость связывает входную величину и производную выходной величины, т.е. выходная величина пропорциональна по времени интегралу входной величины.

(8); ;

; (9) – передаточная функция

Дифференцирующее звено

К дифиринцирующим звеньям относят звенья в которых в установившемся режиме выходная величина пропорциональна производной по времени входной величине, т.е. чем больше скорость изменения входного сигнала, тем больше величина выходного.

(12);

- идеальное диф. звено

(14)

(15) – реальное звено