Надежность авиационных конструкций.

Надёжность авиационных конструкций — способность конструкций сохранять заданную прочность при выполнении своих функций в процессе отработки назначенного ресурса. Под безотказностью конструкции понимается: отсутствие разрушений её элементов или конструкции в целом из-за недостатка прочности (несущей способности) или устойчивости при возникновении экстремальных условий нагружения.

Безотказность авиационной конструкции тесно связана с безопасностью, гарантирующей практическую невероятность катастрофических ситуаций. Контроль фактического уровня надежности конструкции летательного аппарата в процессе эксплуатации проводится на основе оценки показателей надежности.

Надежность авиационного двигателя.

Особенность надежностью авиационного двигателя заключается в необходимости получения оптимальных удельных характеристик по тяге, массе и расходу топлива в широком диапазоне изменения внешних условий при безотказной работе всех его систем в течение назначенного ресурса. Работоспособность и совершенство функциональных характеристик двигателя зависят от надежности обеспечивающих систем (топливной, охлаждения, смазки), систем управления, регулирования и контроля. Уровень надежности двигателя оценивается его наработкой на отказ, а также значениями назначенного и межремонтных ресурсов.

1. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата

1.1. Постановка задачи задания №1 Задание 1

Летательный аппарат (ЛА) состоит из

• m двигателей с вероятностей отказа Р₁ Р₂,...Р_т;

• п дублирующих систем энергоснабжения с вероятностей отказа Р_1Э, Р_2Э,...Р_nэ;

• N с вероятностей отказа Р_с каждая.

Катастрофа наступает, если выходит из строя любая (R+1) и более двигателей, либо если все системы энергоснабжения, либо если хотя бы одна из N вспомогательных подсистем.

В случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью Р_D;

Определить вероятность катастрофы ЛА и сравнить ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы Р₁, одна система энергоснабжения с вероятностей отказа Р_1Э и N вспомогательных подсистем с вероятностей отказа Р_с каждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.

В обоих случаях сравнить вероятности катастроф, связанных с отказом

• двигателей;

• систем энергоснабжения;

• вспомогательных подсистем.

Дано:

m = 3; Р₁ =8∙10^-4, Р₂ =2∙10^-4, Р₃=4∙10^-4

r=2; Р_D=0,6;

n=3; Р_1Э=5∙10^-3, Р_2Э=4∙10^-4, Р_3Э=10 ^-3;

N=10³; P_c=3∙10^-8.

Решение

1.2 Математическая часть задания 1

Введем обозначение событий:

- D₁, D₂, D₃ - отказ 1-го, 2-го, 3-го двигателей соответственно;

- В₁, В₂, В₃, - отказ 1-й, 2-й, и 3-й системы энергоснабжения соответственно;

• С_i - отказ i-ой вспомогательной подсистемы, i=1, 2,...,N;

• Е_к - катастрофа;

-E_kd , E_кэ , E_кc - катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.

А) Рассмотрим случай ЛА с дублирующими системами:

В этом случае:

Е_K=Е_KD+Е_KЭ+E_КС . (1.1)

Перейдем к противоположным событиям, будем иметь:

= . (1.2)

Из равенства (1.2) в силу соотношения двойственности получим:

^Е_K=∙∙ ^{. (1.3)}

Тогда вероятность катастрофы будет определяться по формуле:

P(E_K)=1- P()=1-P(∙∙) . (1.4)

Из равенства (1.4) в силу независимости событий Е_KD,Е_KЭ, E_КС получим:

P(E_K)=1- P∙ P()∙ P(E_KC)=1-(1-P(E_KD))∙(1-P(E_KЭ))∙P(E_KC)). (1.5)

Рассмотрим структуру событий Е_KD, Е_KЭ, E_КС и найдем их вероятности, то есть вероятности катастроф, связанных с отказом:

• двигателей Е_КD;

• систем энергоснабжения Е_KЭ;

• вспомогательных подсистем Е_KC.

1) Рассмотрим структуру событий Е_KDи найдем P(E_KD)= P_KD.

Так как событие Е_KD - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей наступает, если выходят из строя любых (r+1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью Р_D . Значит:

Е_KD= Е_KDr+ Е_KD(r+1), где

Так как в нашем случае число двигателей m = 3, r = 2; то r + 1 = 2 + 1 = 3.

Значит:

Е_KD= Е_KD2+ Е_KD≥3, где

Е_КD2 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа любого r =2 из m=3 двигателей;

Е_KD≥3 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за выходы из строя любых (r+ 1) = 3 и более двигателей, а в нашем Е_KD≥3= Е_KD3 - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа трех двигателей. Из этого следует, что:

Е_KD≥3= Е_KD3=D₁∙ D₂∙ D_3. (1.6)

В свою очередь катастрофа, связанная с отказом ровно r = 2 двигателей (при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (ас вероятностью P_D), значит E_KD2=E_K∙ E_D2.

Тогда:

E_KD= E_KD2+ E_KD3= E_K∙ E_D2+ E_KD3.

Так как события E_KD2, и E_KD≥3несовместны, то

P(E_KD)=P(E_KD2+ E_KD3)=P(E_KD2)+ P(E_KD3)=P(E_K∙ E_D2)+P(E_KD3).

а для нашего случая и учитывая (1.6), получим:

P(E_KD)=P(E_KD2+ E_KD≥3)=P(E_KD2)+ P(E_KD3)=P(E_K∙ E_D2)+P(E_KD3)=

=P(E_K∙ E_D2)+P(E_KD3)= P(E_K∙ E_D2)+P(D₁∙ D₂∙ D₃).

С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом ровно r=2 двигателей при работающих остальных из трех имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:

E_D2=D₁∙ D₂+D₁∙∙ D₃+∙ D₂ ∙ D_{3. .} (1.8)

то есть не работают 3-й, 2-й,1-й двигатели из трех, имеющихся у ЛА.

Тот факт, что события E_KD2 и E_KD3 несовместны, можно доказать следующим образом:

E_KD2∙E_KD3=<согласно(1.7) >= E_K∙ E_D2∙E_KD3=<согласно(1.6) >= E_K∙ E_D2∙Е_KD3= =<согласно(1.6) и(1.8) >= E_K(D₁∙ D₂+D₁∙∙ D₃+∙ D₂ ∙ D₃)∙ D₁∙ D₂∙D₃=

=E_K((D₁∙ D₂D₁∙ D₂∙ D₃)+( D₁∙∙ D₃∙ D₁∙ D₂∙ D₃ )+( ∙ D₂ ∙ D₃ ∙ D₁∙ D₂∙ D₃)=

=E_K((D₁∙ D₁)∙( D₂ ∙D₂)∙( D₃∙) + (D₁∙ D₁)∙( D₂∙ ∙ )∙( D₃∙ D₃)+

+( D₁∙ )∙( D₂∙ D₂)∙( D₃∙ D₃).

Используя тот факт, что A∙A =A и A∙=Ø, получим

E_KD2∙E_KD≥3 =E_K((D₁ ∙D₂ ∙ Ø) + (D₁ ∙Ø∙D₃)+(Ø ∙D₂ ∙D₃))=Ø.

А как известно, что, если произведение двух событий равно невозможному событию (пустому множеству), то такие события являются несовместными.

По определению условной вероятности имеем:

P(E_KD)=P(E_K / E_D2)∙P(E_D2)+P().

а в силу независимости событий D_i , i= , далее имеем:

P(E_K / E_D2) ∙ P(E_D2)+ P() .

Используя (1.7) и несовместимость его (E_D2) слагаемых

P(E_K / E_D2)∙(P(D₁∙ D₂ ∙ )+P(D₁∙∙ D₃)+ P(∙ D₂ ∙ D₃))+).

В силу всех независимых событий D_i , i= и потому, что

P()=1-P(D_i), получим далее:

P(E_K / E_D2)∙[P(D₁)∙P(D₂)∙(1-P(D₃) )+P(D₁)∙(1-P(D₂) )∙P(D₃)+

+(1-P(D₁)∙P(D₂)∙P(D₃)]+).

Так как P(D_i)=P_i , i= и P(E_K / E_D2)=P_D, имеем

P(E_KD)=P_D∙[ P₁∙ P₂∙(1- P₃)+P₁∙(1-P₂)∙P₃ +(1- P₁)∙P₂∙P₃]+P₁∙P₂∙ P₃=

=P_D∙[P₁∙ P₂+P₁∙ P₃+ P₂∙ P₃]∙(1-3P_D)∙ P₁∙ P₂∙ P₃≡P_KD. (1.9)

Если выполняется условие P«P_D для всех i= и учитывая, то что значение вероятности случайного события есть величина, меньшая единицы, то:

P₁∙ P₂∙ P₃ →0

А значит тоже:

(1-3P_D)∙ P₁∙ P₂∙ P₃→0

И тогда имеем:

P(E_KD)≡P_KD≈P_D∙(P₁∙ P₂+ P₁∙ P₃+ P₂∙ P₃) . (1.10)

Подставив значения, данные из условия задания, получим:

P(E_KD)≡P_KD≈P_D∙(P₁∙ P₂+ P₁∙ P₃+ P₂∙ P₃ )=

=0.6∙(8∙10^-4∙2∙10^-4+8∙10^-4∙4∙10^-4+2∙10^-4∙4∙10^-4)=

=0.6∙10^-8∙(16+32+8)=33,6∙10^-8. (1.11)

2) Рассмотрим структуру событий Е_кэи найдем P(E_КЭ)=P_КЭ

E_КЭ≡ B₁∙ B₂∙ B₃- катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (n= 3 по условию задачи).

В силу независимости всех событий B_i , i=имеем

P(E_КЭ) ≡P(B₁∙B₂∙B₃)=P(B₁) ∙P(B₂) ∙P(B₃)=P_1э∙P_2э∙P_{3э .} (1.12)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

P(E_КЭ)≡P(B₁∙B₂∙B₃∙)=P(B₁) ∙P(B₂) ∙P(B₃)=P_1э∙P_2э∙P_3э=

=5∙10^-4∙4∙10^-4∙10^-3=2∙10^-10 . (1.13)

3) Рассмотрим структуру событий е_кс и найдем P(е_кс) = P_кс.

Событие Е_кс наступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательной подсистемы, значит

е_кс≡C₁+C₂+…+C_N=.

В силу закона двойственности

е_кс≡= ∙∙…∙=.

в силу независимости событий , i= получим

P () ≡P(=P() ∙ P()∙…∙ P()==1-P(C_i)).

Так как P(C_i)=P_c, i= получим

P ()==1-P_с)=(1-P_c)^{N .}

тогда

P(е_кс)=(1- P ()=1-(1-P_c)^N≡P_{KC .}

Если выполняется NP_C<<1=>

P ()=( 1-P_c)^N=1-NP_C+ P_C²-…(-1)^NP_c^N≈ 1-NP_{C .} (1.14)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

P(е_кс)1-1+NP_C=NP_C=10³∙3∙10^-8=3∙10^-5. (1.15)